Wieviel ist Unendlich minus Unendlich?

[Robin]

Anton (7) meint: Die Antwort ist Unendlich. Begründung: Wenn man zum Beispiel unendlich viele Häuser hat, braucht man unendlich Zeit, die zu zählen und wenn man die dann weg nimmt, braucht man auch unendlich...jedenfalls ist die Antwort: Unendlich.
Ich dagegen neige eher dazu zu sagen, die Antwort sie Null. Aber ich bin mir nicht sicher. Denn: Kann Unendlich gleich Unendlich sein? Kann man Unendlich überhaupt als Zahl auffassen? Und spielt die zeitliche Dimension vielleicht auch eine Rolle?
Über Antworten wäre ich sehr dankbar!

 

[Gysi]

Hi Robin, eine gute Frage, wie ich finde!
Ein Mathematiker würde sagen, diese Rechnung ist mathematisch nicht erlaubt! Ich sehe das - unbescheidenerweise - anders. Das Ergebnis ist Null, sehe ich so wie du.
Unendlich ist keine feste Zahl.

Anton hat leider unrecht. Dass der Mensch eine unendliche Größe nicht zählen kann, bedeutet nicht, dass die Rechenoperation nicht geht. Auch die Größenunschärfe verhindert sie nicht. X minus X ist Null!

Gysi

 

[diogenes]

Ein Mathematiker würde sagen, diese Rechnung ist mathematisch nicht erlaubt! Ich sehe das - unbescheidenerweise - anders. Das Ergebnis ist Null, sehe ich so wie du.

Jetzt hacke ich einmal ganz böse nach: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Die Menge der geraden natürlichen Zahlen auch. Nimmt man die geraden natürlichen Zahlen von den natürlichen Zahlen weg, dann bleiben die ungeraden natürlichen Zahlen übrig. Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist aber auch unendlich.

 

[Robin]

Gysi, bei allem guten Willen, du machst die Sache nicht besser, sondern schlechter:

1) Muss ich dem Kinde jetzt sagen, dass die Mathematik im Unrecht sei? Aber wenn du solch Gewichtiges behauptest, musst du es mit Begründung tun!
2) Größenunschärfe? Muss man sich jetzt ne Brille kaufen, wenn Dinge größer werden? Erkläre das einem Kinde.
3) Du weißt doch wie empfindlich Kinder sind; sage ihm, es habe Unrecht, so muss es fundiert sein. Wendet Anton auf die Frage ein, wieviel ein Apfel weniger einem Apfel sei, dass man dies nicht wissen könne, denn jeder Apfel bestehe ja aus unendlich Atomen und sei überhaupt was anderes, wie ist ihm beizukommen? Auch der Einwand des auferstand'nen Diogenes ist nicht von Papyros!

Also ihr formstrengen Philosophen: Ich erwarte mehr!

 

[Gysi]

Jetzt hacke ich einmal ganz böse nach: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Die Menge der geraden natürlichen Zahlen auch. Nimmt man die geraden natürlichen Zahlen von den natürlichen Zahlen weg, dann bleiben die ungeraden natürlichen Zahlen übrig. Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist aber auch unendlich.

Das ist ein gutes Gegenbeispiel! Aber kannst du von 5 Äpfeln 4 Birnen abziehen?

Gysi

 

[Gysi]

1) Muss ich dem Kinde jetzt sagen, dass die Mathematik im Unrecht sei?

Nö. Die Mathematiker sind es hin und wieder...

Aber wenn du solch Gewichtiges behauptest, musst du es mit Begründung tun!

Dann begründe, warum dir meine Begründung nicht reicht. Außerdem habe ich nichts anderes behauptet als du selbst...

Größenunschärfe? Muss man sich jetzt ne Brille kaufen, wenn Dinge größer werden? Erkläre das einem Kinde.

Eine Unendlichkeit kann nicht größer werden. Und nicht kleiner, es sei denn, du ziehst von ihr keine konkrete Größe, sondern eben die Unendlichkeit ab. Etwas Unendliches kannst du mit einer Brille nicht erfassen, die Kosten kannst du dir für dieses Vorhaben also sparen...

3) Du weißt doch wie empfindlich Kinder sind; sage ihm, es habe Unrecht, so muss es fundiert sein.

"Oh ja, da hast du recht! Aber..." Wenn du so mit Anton redest, dann klappt das schon...

Also ihr formstrengen Philosophen: Ich erwarte mehr!

Was willst du denn? Trüffel? Hummer? Kaviar? Zahlst du den Preis? Meine Mutter sagte immer: Es wird gegessen, was auf den Tisch kommt!

Gysi

 

[diogenes]

Das ist ein gutes Gegenbeispiel! Aber kannst du von 5 Äpfeln 4 Birnen abziehen?

Was sind, wenn Du mein Beispiel betrachtest, die Äpfel und was die Birnen?

 

[Gysi]

Was sind, wenn Du mein Beispiel betrachtest, die Äpfel und was die Birnen?

Die geraden Zahlen sind die Birnen. Die ungeraden die Äpfel. Oder umgekehrt.
Ansonsten hast du natürlich recht: Ziehst du die geraden Zahlen von einer unendlichen Zahlenkette ab, dann ist das Ergebnis Unendlich!
Mir geht es aber um die Rechenoperation Unendlich minus Unendlich. Und hier ist das Ergebnis nach meiner Auffassung Null.

Gysi

 

[diogenes]

Mir geht es aber um die Rechenoperation Unendlich minus Unendlich. Und hier ist das Ergebnis nach meiner Auffassung Null.

Warum?

Der Begriff der Unendlichkeit ist so einfach nicht. Es gibt zum Beispiel verschiedene Mengen mit unendlich vielen Elementen, die jedoch nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Die verschiedenen Mächtigkeiten dieser Mengen werden mit dem Symbol Aleph und einem Index bezeichnet. Die Mächtigkeit der kleinsten unendlichen Menge, die Menge der natürlichen Zahlen, wird mit Aleph_[0] bezeichnet, die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen mit Aleph_[1], vorausgesetzt, die Kontinuumshypothese stimmt. Weitere Mengen mit anderen Mächtigkeiten lassen sich durch die Potenzmenge konstruieren. Es gibt unendlich viele Unendlichkeiten. Es gibt in der Mathematik auch mehrere Zahlensysteme, die unendlich große Zahlen enthalten, zum Beispiel die Menge der hyperreellen Zahlen.

Um zur Subtraktion zurückzukommen, so ist sie in der obigen Form sinnlos. Das "Unendlich" oben ist einfach nicht definiert. Daher ist das Ergebnis nicht null oder unendlich oder sonst irgendetwas, sondern einfach undefiniert.

 

[Céline]

Geht ihr eigentlich alle davon aus, dass es sich beim 7-jährigen Anton um ein hochbegabtes Kind - um ein Genie handelt? Dann könnt ihr ihn getrost mit "bijektiv", "Aleph" und "Kontinuumshypothese" zuschütten und er wird entzückt sein. Geht man aber davon aus, dass Anton ein normal begabtes Kind ist, würde vielleicht "Das "Unendlich" ist einfach nicht definiert. Daher ist das Ergebnis nicht null oder unendlich oder sonst irgendetwas, sondern einfach undefiniert" genügen.", weil geht man davon aus, dass Anton auch ein vorlautes Kind sein könnte, könnte er am Schluss auch sagen "schon gut, Alter!" und davon laufen und nichts mehr fragen. Wäre schade, nicht?
Das "Unendlich" ist vielleicht gar nicht unendlich, sondern wir vermögen es nur nicht zu beziffern, weil auch uns Grenzen gesetzt sind (auch zeitlich!). Auch der Mathematiker hat zuerst irgendwo eine Annahme gemacht, von der er ausgegangen ist... oder?