Wo haben logisches Denken und Grammatik ihren Ursprung? Lässt sich das halbwegs plausibel durch Evolution erklären? Nach dem Motto: Wer falsche Schlüsse zieht, wird schneller gefressen?
Die Logik hat ihren Ursprung in der menschlichen Zivilisation, und die hat ihren Ursprung in der Landwirtschaft.
Wer als Jäger & Sammler umherstreift und in krummen Hütten haust: Der braucht keine Logik - und er entwickelt auch keine. Stattdessen baut er sein schamanistisches Denken ggf. weiter aus. Ja, oft gibt es nicht einmal einen Zahlbegriff, Völker auf Steinzeitniveau zählen "eins, zwei, drei, viele". Zahlen größer als Drei spielen in ihrer Realität keine Rolle und somit auch nicht in ihrem Denken.
Die Logik beginnt erst da, wo groß angelegte Projekte, von Vielen durchgeführt, planbar gemacht werden müssen.
Folgerichtig begann die Logik, vor allem die mathematische Logik mit den ersten Hochkulturen. Aber selbst sie begann mit ganz pragmatischen, teils eher "handwerklichen" Lösungen.
Die alten Ägypter verwendeten den Satz des Pythargoras - ohne ihn zu formulieren, ja: zu kennen. Mutmaßlich verwendeten sie dazu Knotenschnüre:
Eine zum Kreis gebundene Schnur, mit 12 gleichabständigen Knoten. Von drei Personen richtig aufgespannt, ergibt sie mit
3^2 + 4^2 = 5^2
für den Satz des Pythargoras die kleinste ganzzahlige Lösung (von unendlich vielen) und bildet einen rechten Winkel. Für einfache Landvermessungen und Bauvorhaben ist ein solches Vorgehen völlig ausreichend und an einer theoretischen Ausarbeitung waren die Ägypter nicht interessiert.
Der altägyptische Papyrus Rhind (ca. 1.550 v. Chr.) beschreibt ein Schema zur Berechnung einer Kreisfläche. Die für eine genaue Berechnung notwendige, transzendentale Zahl Pi war den Ägyptern nicht bekannt und sie waren an ihrer Entwicklung auch nicht interessiert. Das Schema ist vielmehr ein Näherungsverfahren, das mit einem Fehler behaftet ist. Der Fehler liegt allerdings < 1% (0,62%) für die Kreisfläche - was für eine reale Flächenberechnung völlig akzeptabel ist. Und genau darum geht es im Papyrus Rhind, der Berechnung des Volumens eines runden Getreidespeichers, reiner Pragmatismus.
Die Entwicklung einer zugrundeliegenden, echten (mathematischen) Logik beginnt erst bei den Griechen. Für die griechischen Philosophen waren die Philosophie und die Mathematik noch eins, wobei sich manche Philosophen mehr mit dem Einen und andere mehr mit dem Anderen befassten. Es bedarf für die Entwicklung der Logik also nicht nur der Zivilisation, sondern auch bestimmter Gesellschaftsstrukturen, die Philosophen und philosophische Schulen überhaupt erst ermöglicht: Politische und soziale Freiheiten und wenn man so will, eine bestimmte Ökonomie. Denn der Philosoph und Mathematiker kann nur dann forschen und arbeiten, wenn es auf die eine oder andere Weise Strukturen gibt, die ihn vorsorgen, sprich: bezahlen.
Die Formulierung des Satzes des Pythargoras wird traditionell Pythargoras (570-510 v.Chr.) und den Pythargoräern, einer einflussreichen, politisch-religiösen Bewegung, zugeschrieben. Nach pythargoräischem mathematischen Denken sind alle Zahlen rationale Zahlen: Alle Zahlen lassen sich durch Brüche aus ganzzahligen Zahlen darstellen (Ratio = "Teil"). Die Pythargoräer entdeckten allerdings noch andere Zusammenhänge, wo dies nicht der Fall ist. Die Länge der Diagonalen im Quadrat ist nämlich irrational: Sie lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen aus der Kantenlänge des Quadrats darstellen.
Ein Schüler das Pythargoras, Hippasos von Metapont, soll, der Tradition zufolge, diese von den Pythargoräern geheim gehaltene Entdeckung veröffentlicht haben und aus der Sicht der Pythargoräer Geheimnisverrat begangen haben. Eine Art "Grundlagenkrise" des Pythargorismus: Man schloss ihn aus der Gemeinschaft aus und deutete seinen späteren Tod bei einem Schiffsuntergang als göttliche Strafe.
Der dazu gehörige mathematische Beweis der Irrationalität der Diagonale des Quadrats ist ein indirekter Beweis - bis heute. Es handelt sich um den Beweis durch das ausgeschlossene Dritte, ein seitdem und bis heute gültiges, mathematisches Beweisverfahren ... wenn man als einzige, logische Kategorien "wahr" und "falsch" akzeptiert, und das ist in der Mathematik bis heute der Fall.
Das Verständnis von Pi als irrationale (später: transzendentale) Zahl geht auf Archimedes (297-212 v. Chr.) zurück, auch wenn er sie noch nicht so benannte. Archimedes zeigte, dass man sich der Zahl Pi auf beliebig viele Stellen nähern kann, vermutlich das älteste numerische Näherungsverfahren der Geschichte.
Wenn dem so wäre, dann wären kausaule Beziehungen die Quelle logischer Denk- und Sprach-Strukturen. Woher kommt dann aber die Notwendigkeit, die wir in unseren Logikspielen finden? Diese Gewissheit lässt sich doch schwerlich aus kontingenten Erfahrungen ableiten.
Die Mathematik ist eine Philosophie mit der Aussagenlogik als elementarer Grundlage. Ohne die Gültigkeit der Aussagenlogik auch keine Gültigkeit der Mathematik.
Man gelangt schließlich zu der Fragestellung: Handelt es sich bei der Mathematik (und somit der in sie eingeschlossenen Logik) um eine menschengemachte Philosophie - oder um eine inhärente Eigenschaft des Universums? Im ersten Fall könnte es auch eine andere Logik und Mathematik geben, die mit der menschlichen nicht übereinstimmt, im zweiten Fall nicht.
Die meisten Mathematiker heute dürften die Mathematik für eine universale Philosophie halten, "das Betriebssystem des Universums", wie sich ein Mathematiker einmal ausdrückte. Und ein gutes Indiz dafür ist, dass sich praktisch alles mathematisch beschreiben lässt, sich ein mathematisches Modell für einen jeden Sachverhalt entwickeln lässt - und dies selbst für manche, rein menschliche Wahrnehmungsqualitäten ohne direkte, physikalische Messergebnisse.
Bewiesen ist dies bis zum heutigen Tage aber nicht und auch nicht unumstritten.
Der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) beschäftigte sich mit unendlichen Zahlenmengen. Er fand heraus (und bewies), dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt. Er zeigte, dass die (unendlich große) Menge der Natürlichen (Rationalen) Zahlen abzählbar ist (unendliche Zeit des Zählenden vorausgesetzt, Cantorsches Diagonalverfahren), während die (unendlich große) Menge der Irrationalen Zahlen nicht mehr abzählbar, "überabzählbar" ist. Die Menge der Irrationalen Zahlen ist also "mächtiger" als die der Rationalen Zahlen, obwohl beide unendlich groß sind. Er konnte darüber hinauss zeigen, in welchem "Größenverhältnis" sie zueinander stehen. Das wurde weithin nicht akzeptiert. Cantors ehemaliger Lehrer Leopold Kronecker, selbst ein bedeutender Mathematiker, äußerte sich hierzu: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“
Cantor wiederum stellte seine nach ihm benannte Kontinuumsshypothese auf, sie begrenzt die Anzahl möglicher Zahlenmengen (auf zwei, die der Natürlichen Zahlen und die der Reellen Zahlen). Cantor versuchte sie zu beweisen oder zu widerlegen, scheiterte aber das eine wie das andere Mal. Die Beweise gelangen erst Kurt Gödel (1938) und Paul Cohen (1960er Jahre) - aber nicht in der Art und Weise, wie es die Mathematiker sich erhofft hatten.
Nach Kurt Gödel lässt sich die Aussage mit unserer Mathematik nicht widerlegen. Nach Paul Cohen lässt sich die Aussage mit unserer Mathematik nicht beweisen.
Oder anders: Die Kontinuumshypothese ist unentscheidbar, sie lässt sich weder beweisen, noch widerlegen.
Dieses Ergebnis stellt aber - im Grundsatz zumindest - das Beweisverfahren durch das ausgeschlossene Dritte in Frage (s. Diagonale im Quadrat).
Denn das Beweisverfahren basiert auf der einzigen Existenz zweier logischer Zustände, wahr und falsch.
Wenn etwas nicht wahr ist, dann ist es falsch. Das Beweisverfahren durch das ausgeschlossene Dritte basiert auf einer grundsätzlichen Annahme, die man Anfangs macht. Führt diese Annahme in Folge zu unauflöslichen Widersprüchen, so kann die Annahme nur falsch sein.
Gibt es aber eine mathematische Fragestellung, die unentscheidbar ist, dann funktioniert dieser Beweis nicht mehr. Denn aus der Nichtexistenz von Wahrheit kann nicht mehr auf die Existenz von Falschheit geschlossen werden.
. Aber na und? Jedenfalls, fühl Du mal nicht immer so 'negativ', ich brauchs's doch auch nicht. Und, hab auch nicht 'immer solche' - Angst!
