unendlich viele Primzahlen

[Ginsi]

Guten Morgen,

ich bräuchte jemanden der mir Eklids Beweis erklärt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Eklid sagt: Wenn es endlich viele Primzahlen gibt:
p1, p1, ..., pn (wobei n die letzte dieser endlichen Primzahlen ist)
und wenn man alle diese Primzahlen multipliziert.
p1*p2*...*pn
und zu dieser Zahl 1 hinzuzählt
p1*p2*...*pn + 1
dann ergibt das entweder noch eine Primzahl oder es muss einen Teiler pm geben, der nicht genannt wurde, was aber der Annahme widerspricht, dass wir alle existierenden Primzahlen miteinander malgenommen haben. What means: Es gibt unendlich viele Primzahlen..

So hab ich das verstanden, aber ich glaub das is irgendwie falsch ^^.. Kann irgendwer mathematisch begabtes mir den Beweis bitte erklären

mfG Ginsi

 

[Muzmuz]

AW: unendlich viele Primzahlen

hallo ginsi,

wenn wir annehmen, es gäbe endlich viele primzahlen:
dann müsste es möglich sein, ein produkt aller primzahlen zu bilden
wenn wir zu diesem produkt 1 addieren oder subtrahieren, dann haben wir
aber wieder eine primzahl
denn: bei allen divisionen der neuen zahl durch die primzahlen bleibt entweder 1 rest (bei produkt aller primzahlen+1) oder primzahl-1 rest (bei produkt-1)....ist also nicht ohne rest durch eine ganze zahl teilbar

als beispiel:
nehmen wir an, es gäbe nur die primzahlen 2 und 3
das produkt ist 6
p+1=7, p-1=5
und schon sind zwei neue primzahlen gefunden

wenns nur 2,3,5 und 7 gäbe:
2*3*5*7=210
und tadah, 209 und 211 sind wiederum primzahlen

lg,
Muzmuz

 

[Ginsi]

AW: unendlich viele Primzahlen

Aber bei 7*7 z.B. .. Das ist doch 49.. +1=50 und -1=48.. bei 3*5 gilts wieder nicht.. Also isses doch entweder ne neue Primzahl oder es fehlt ein Teiler, oder?

mfG Ginsi

 

[Muzmuz]

AW: unendlich viele Primzahlen

hallo ginsi,
nicht das produkt zweier beliebiger primzahlen+/-1, sondern das produkt ALLER primzahlen

nimmst du nur 2 primzahlen (und keine davon ist die 2), ist deren produkt +/-1 nie eine primzahl, weil gerade (p1*p2 ist dann immer ungerade, +/-1 immer gerade...und keine gerade zahl außer 2 ist eine primzahl)

lg,
Muzmuz

 

[Ginsi]

AW: unendlich viele Primzahlen

Hmm.. Aber wenn 2 mit drinnen ist, ist sie +/-1 immer eine Primzahl? Glaub ich ja fast nicht

 

[CloudDiver]

AW: unendlich viele Primzahlen

soweit ich das verstanden habe, gehts ja nicht um die zwei. es geht drum, dass wenn du eine primzahl als die angeblich letzte setzt - angenommen, es gäbe nur endlich viele - dann musst du alle primzahlen bis zu dieser gesetzten letzten multiplizieren, und dir nicht irgendwelche rauspicken! sprich, du kannst nicht einfach nur 3*5 rechnen, sondern sondern 2*3*5
der beweis lief ja nicht: beliebige primzahlen picken und multiplizieren, sondern: eine reihe von primzahlen p1*p2*p3,usw. bis eben zur angeblich letzten.... okay, ich hab mich jetzt wiederholt, aber doppelt gemoppelt hält eben besser, ne

CloudDiver

 

[Ginsi]

AW: unendlich viele Primzahlen

Mein Problem ist:

Ist es zwingend notwendig, dass eine Zahl, die sich aus der Multiplikation aller Primzahlen+1 zusammensetzt, einen anderen Teiler, der nicht in der Reihe aller Primzahlen vorhanden war, besitzt?

mfG Ginsi

 

[CloudDiver]

AW: unendlich viele Primzahlen

Hab mich noch nicht ganz bis zum Ende da durch gedacht. Aber wieso gehört das überhaupt zu dem Beweis dazu?? Reicht der erste Teil nicht?

 

[Muzmuz]

AW: unendlich viele Primzahlen

Mein Problem ist:

Ist es zwingend notwendig, dass eine Zahl, die sich aus der Multiplikation aller Primzahlen+1 zusammensetzt, einen anderen Teiler, der nicht in der Reihe aller Primzahlen vorhanden war, besitzt?

mfG Ginsi

hallo,

es ist nicht zwingend notwendig, es ist vielmehr ausgeschlossen

lg,
Muzmuz

 

[Ginsi]

AW: unendlich viele Primzahlen

Ich habs! .. Heute, als ich bei CloudDiver so aufm Sofa rumgegammelt habe und so laut nachgedacht habe, kam mir die Erleuchtung! .. Es ist so einfach und ich habe es nicht geblickt.

Mein Problem war: Ich habe darüber nachgedacht, ob sich P<all>(alle Primzahlen)+1 neubilden lassen mit allen Primzahlen.. Das ist natürlich nicht möglich, wegen dem Kommutativgesetz, das besagt, dass alle Faktoren egal in welcher Reihenfolge genannt das gleiche Ergebnis erzielen.. Es war so einfach und ich habe es nicht gesehen ^^

mfG Ginsi