Grundbegriffe der Logik: Wahrheit, Existenz, Möglichkeit

[Aporie]

Das driftet nun doch ein wenig vom Thema ab. Astrologie ist hier nicht der rote Faden. Der Zusammenhang mit der Logik ist mir da nicht ganz klar.

 

[MartinL]

Das driftet nun doch ein wenig vom Thema ab. Astrologie ist hier nicht der rote Faden. Der Zusammenhang mit der Logik ist mir da nicht ganz klar.

Die Frage
"wie entsteht Wirklichkeit?"
ist nicht themenfremd.

 

[hylozoik]

''Logik'' ist eine Wahrheit (bzw. mögliche Existenz) für ''Buchhalter'' ...

 

[Giacomo_S]

Eines fehlt mir. Du unterschlägst die der Umgangssprache inhärente Logik, die schon lange vor dem bewussten Planen vorhanden sein muss. Sprache und Grammatik funktionieren nicht ohne Logik.

Es kommt natürlich darauf an, wie man den Begriff "Logik" definiert. Man kann es aber auch anders herum sehen: Es gibt keine Logik ohne Sprache und Grammatik. Und genau das ist es doch, was Du mit "der Umgangssprache inhärente Logik" aussagst.

Es gab Zeiten, da wollte ich mich als interessierter Laie mit der klassischen und modernen Philosophie auseinandersetzen. Ich quälte mich durch etliche Texte, darunter Kant oder moderne Autoren, die seitenweise Texte in Altgriechisch zitierten, natürlich, ohne sie zu übersetzen ... was, Du willst Dich mit Philosophie beschäftigen, und kannst kein Altgriechisch? Dein Problem, du Depp.
Das war mir alles zu langatmig, zu schwierig und auch zu sperrig - wenn nicht geschwätzig.

In der Schule war ich in der Mathematik nur durchschnittlich, aber irgendwann begann ich, mich mit der Mathematik zu beschäftigen. Teilweise verband ich es mit meinem Hobby, dem Programmieren, teilweise las ich populärwissenschaftliche Bücher zu mathematischen Themen, vor allem zu Georg Cantor.
Ich begriff, dass alles, was ich in der Schule als Mathematik gelehrt wurde, mehr Rechnen als Mathematik gewesen war. Und dass die Mathematik eine Philosophie ist. Nicht unbedingt eine schöne, romantische und sprachliche Philosophie und eine, die ausschließlich auf die binäre Logik begrenzt ist. Dafür aber ist sie in sich schlüssig, folgerichtig und logisch.

Mathematiker (und Philosophen) wie Bertrand Russel versuchten zu Anfang des 20. Jh., die Mathematik auf eine rein logische Basis zu stellen. Sein Werk Principia Mathematica war der Versuch, dieses Ziel zu erreichen. Am Ende scheiterte er, auch wenn es sich nach wie vor um ein bedeutendes und grundlegendes Werk handelt. Die in meinen Augen maßgeblichne Arbeiten der ersten Hälfte des 20. Jh. sind die von dem österreichischen Mathematiker und Logiker Kurt Gödel.

Kurt Gödel bewies im Wesentlichen (für die Mathematik und die Logik), und auf einfache Worte reduziert:
1. Ist ein logisches System widerspruchsfrei, dann ist es nicht vollständig.
2. Ist ein logisches System vollständig, dann ist es nicht widerspruchsfrei.
In der Konsequenz bedeutet das: Es gibt kein logisches System ohne Axiome (was Hr. Russell anstrebte). Ein Axiom ist bekanntlich eine Art Postulat, eine Grundannahme, die wir als wahr voraussetzen und weder begründen wollen noch können.
Wenn diese Aussagen bereits für die Mathematik gelten - die abstrakteste und somit auch eingeschränkteste Philosophie von allen - dann gilt sie auch für alle. Sofern man die Grundlagen der binären Logik und die Kategorien "wahr" und "falsch" akzeptiert.

Und allein mit den zwei Kategorien hat man genug zu tun.

Als junger Mann programmierte ich die 8-Bit-Home-Computer, die wir uns damals gerade so eben leisten konnten. Zuerst in Basic, aber das war langsam, und schon bald landeten wir bei der ursprünglichen Sprache: Assembler, einem kryptischen Code, für "Bit-Pfriemler" ... sehr abstrakt, aber wie ich damals schnell feststellte: rund 200x so schnell. Oder schneller. Nebenbei erfuhr ich, das sich alle Rechenvorgänge auf Funktionen aus Null (= falsch) und Eins (= wahr) reduzieren ließen und alle höheren Funktionen und Zahlendarstellungen letztlich nur komplexere Anwendungen dieses Prinzips waren.

In einem anderen Forum, in dem ich gelegentlich bin, propagiert ein Fan eine andere Art von Logik, er nennt sie "Stufenlogik". Sie weicht von dem binären Prinzip ab - und ist sehr wenig anschaulich. Ich vermute, nur er selbst versteht sie, vllt. aber auch nicht einmal er selbst.
Ich machte mir ein paar grundlegende Aspekte seiner Logik zu eigen und rechnete ein wenig damit herum.
Verknüpft man in der binären Logik zwei Aussagen miteinander, dann erhält man 4 mögliche Zustände (2 Bit). Sind es drei Aussagen, dann 8 mögliche Zustände (3 Bit), sind es vier Aussagen, dann sind es 16 mögliche Zustände (4 Bit). 16 mögliche Zustände - damit hat man soeben das überschritten, was ein durchschnittlicher menschlicher Verstand ohne technische Hilfe einigermaßen überblicken kann.

In meiner Jugend gab es diese Quizsendung mit Rudi Carell, die hieß "Am laufenden Band". Höhepunkt der Show war, dass man für den Gewinner ein Fließband laufen ließ, auf dem verschiedene Gegenstände vorbei liefen: Eine Kaffeemaschine, ein Fernseher, dies, das.
Dann hatte er aus dem Gedächtnis zu sagen, was er gesehen hatte, und das gewann er auch.
Kein Kandidat hat mehr als 12-13 Dinge aus dem Gedächtnis nennen können. Der Beste lag bei 14, das ist die mentale Grenze, was ein Mensch überblicken kann. Im Übrigen: Die Grenze dessen, was ein Mensch "intuitiv" überblicken kann, liegt bei max. 6 Objekten. Jenseits dessen muss er sie abzählen.

Die Stufenlogik des Fans anderen Forums ergab (genau weiß ich es nicht mehr, aber ich hatte das berechnet), bereits bei vier Aussagen > 20.000 mögliche Zustände. Kein Mensch kann solche Größenordnungen an Möglichkeiten auch nur im Ansatz überblicken.
Die Frage also, ob es eine Logik jenseits der binären Logik geben kann - sie ist, für den menschlichen Geist, ohne Bedeutung. Denn selbst wenn es sie gibt, dann ist sie für den menschlichen Verstand um viele Größenordnungen zu komplex, als das eine Art Verständnis, auch nur ansatzweise rationale oder intuitive Form des Verständnisses, überhaupt nur möglich ist.

Was den zweiten Teil betrifft, so habe ich selten eine so knappe und präzise Zusammenfassung gelesen. Interessant wird es dann nochmal ganz am Schluss, wenn du die intuitionistische Logik und ihre Kritik am indirekten Beweis ins Spiel bringst. Das ist ein großes Thema, dem wir hier auf jeden Fall nachgehen sollten. Die Zweiwertigkeit, die dort angezweifelt wird, habe ich übrigens selbst schon untergraben durch meine Differenzierung des Wahrheitsbegriffs in faktische und logische Wahrheit. Keine von diesen beiden ist zweiwertig, nur ihr gemeinsames Dach. Die Frage ist nun, ob die intuitionistische Logik mit ihrer Ablehnung des Gesetzes der doppelten Verneinung wirklich den Punkt trifft.

Danke für Dein Lob, endlich mal ein Teilnehmer, der ...

Vor Jahren hatte ich so einen Kneipenkumpel, der seines Zeichens selbst Mathematiker war ... und auch als Versicherungsmathematiker arbeitete.
Ich stellte ihn vor das Problem der Logik - oder Nicht-Logik - der Cantorschen Kontinuumshypothese und der Frage der Gültigkeit der seit der Antike angewandten Beweisführung durch das ausgeschlossene Dritte.
Seine Antwort fand ich ziemlich interessant. Sie lautete etwa so in dem Sinne, dass die Beweisführung möglicherweise nicht für Cantors Zahlentheorien geltend gemacht werden könne, wohl aber für einfacher gestrickte Probleme, so eben die Diagonale im Quadrat.

Zumal der Begriff der Zahl als solcher bis heute nicht abschließend geklärt, geschweige denn definiert ist. Was ist denn überhaupt eine Zahl?
Es handelt sich um eine reine Abstraktion ... die anscheinend aber nicht ohne eine weitere Kategorie auskommt.
Lege ich Dir 3 Äpfel auf den Tisch, dann sind es 3 Äpfel. Lege ich noch eine Birne hinzu, dann kann ich die reine Anzahl nur durch 4 Früchte o.ä. darstellen, dabei habe ich die Kategorie der Objekte aber bereits verändert. Also gibt es - in der Realität - keinen Zahlbegriff ohne eine zusätzliche Kategorie, ob sie nun Früchte, Objekte oder Kategorien heissen.

 

[MartinL]

vom hütchen zum stöckchen
ich bin toll

 

[Aporie]

Die Frage also, ob es eine Logik jenseits der binären Logik geben kann - sie ist, für den menschlichen Geist, ohne Bedeutung.

Damit wir nicht versehentlich aneinander vorbeireden: Was genau meinst du mit binärer Logik? Ich stelle hier kurz dar, was ich darunter verstehe.

Prädikaten- und Modallogik sind, so wie ich den Begriff verstehe, nicht binär. Prädikaten- und Modallogik lassen sich am elegantesten als dreiwertige Logiken formulieren. Dann zeigen sich isomorphe Strukturen, und man benötigt weder Quantoren noch Modaloperatoren.

Binäre Logik ist der Sonderfall, der es ermöglicht, alle Arten logischer Gebilde auf der Metaebene wieder auf den Gegensatz wahr/falsch zu beurteilen, sofern die auf objektsprachlicher Ebene formulierten Terme als Aussagen (Sätze) interpretiert werden können. Dass wir ohne technische Hilfsmittel bei mehrwertigen Logiken mit unserer logischen Intuition schon an der Eingangsschwelle auf ziemlich verlorenem Posten stehen, ist kein grundsätzliches Gegenargument. Wohl aber ein praktisches.

(Was Trestones Stufenlogik betrifft: diese hat in meinen Augen erhebliche konzeptionelle Fehler, die sie insgesamt uninteressant machen).

Zumal der Begriff der Zahl als solcher bis heute nicht abschließend geklärt, geschweige denn definiert ist. Was ist denn überhaupt eine Zahl?

Was den Zahlbegriff betrifft: der sollte durch die Mengenlehre gekärt werden. Anzahlen, so heißt es bei Frege in den Grundlagen der Arithmetik, werden vom Begriff ausgesagt. Das zeigt auch dein Beispiel mit Äpfeln, Birnen und Früchten. Das sind unterschiedliche Begriffe, daraus ergeben sich unterschiedliche Zahlen.

Vermutlich kennst du Freges Definition:

Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffs >gleichzahlig dem Begriffe F<.
Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, §68

Die Definition ist ohne zusätzliche Erläuterungen kaum verständlich. Aber die Definition des Zahlbegriffs ist hier ja nur am Rande als Thema aufgeschlagen.

 

[Giacomo_S]

Damit wir nicht versehentlich aneinander vorbeireden: Was genau meinst du mit binärer Logik?

Nach der binären Logik, der Grundlage der (mathematischen) Aussagenlogik kann es nur zwei Zustände geben, "wahr" und "falsch".
In der Informatik kann man sie durch "Null" und "Eins" darstellen - und technisch durch eine entsprechend angepasste Elektronik umsetzen. Auf dieser Grundlage kann man die gesamte, bisherige und bekannte Mathematik darauf aufbauen. Zahlendarstellung (nach welchem System auch immer), Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind nur komplexere Anwendungen dieser binären Logik - um nur von den nächst einfachen Umsetzungen zu sprechen: Und genau so funktionieren Computer.

Die Selbstverständlichkeit, mit der wie heutzutage - oft genug als digitale Dilettanten - diese Systeme benutzen, verschweigt uns, welche Komplexität im Grunde unter dieser Haube steckt. Historisch eine Komplexität von Jahrzehnten, denn auch in den Informationstechnologien wird das Rad nicht immer neu erfunden.

Dennoch lassen sich aus der binären Aussagenlogik, auf deren Basis diese Technologien funktionieren, auch höhere mathematische Funktionen umsetzen: Die Trignonometrie, die Differenzialrechnung, die Integralrechnung, usw. usf. Das ist zwar einerseits eine ganz beeindruckende Sache: Man kann, mehr oder weniger, allein aufgrund einer binären Logik die gesamte Mathematik abbilden, technisch zumindest - und sogar Dinge berechnen, von denen die Mathematiker früherer Zeiten nicht einmal zu träumen gewagt haben.
Es hat sich in der Mathematik sogar eine neue, wenn auch als "unelegant" angesehene Art der mathematischen Beweisführung ergeben: Man schränkt die mathematisch nicht beweisbaren Fälle auf wenige tausend Fälle ein, und die geht ein Computerprogramm einzeln durch. Das lange diskutierte "Vier-Farben-Problem" wurde schließlich so bewiesen, um eine sonderlich elegante Lösung handelt es sich jedoch nicht.
Dennoch: Die Informationstechnologien versetzen uns in die Lage, eine gänzliche neue Mathematik zu erforschen, in "Galaxien vorzustoßen, die nie ein Mensch gesehen hat". Und das aufgrund einer im Prinzip rein binären Logik.

Andererseits:
Die binäre Logik des Computers kann Zahlen ausschließlich rational abbilden. Für irrationale Zahlen, Pi, Wurzel 2, E u.a. hat diese Logik im eigentlichen Sinne kein wirkliches Verständnis. Für Probleme der angewandten Mathematik löst man dies mit einer im Grunde beliebigen Stellengenauigkeit - aber auch innerhalb dieser kann es zu Problemen kommen, und diese sind keineswegs nur reine Rechenfehler.
Im Grunde zeigt sich da selbst in den technischen Anwendungen, dass irrationale Aspekte nicht oder nur näherungsweise greifbar sind - wie in Cantors theoretischer Mathematik auch nicht.

(Was Trestones Stufenlogik betrifft: diese hat in meinen Augen erhebliche konzeptionelle Fehler, die sie insgesamt uninteressant machen).

Interessant, dass Du Trestones Stufenlogik kennst. Das lässt tief blicken und ja ... willkommen im Club!

Was den Zahlbegriff betrifft: der sollte durch die Mengenlehre gekärt werden. Anzahlen, so heißt es bei Frege in den Grundlagen der Arithmetik, werden vom Begriff ausgesagt. Das zeigt auch dein Beispiel mit Äpfeln, Birnen und Früchten. Das sind unterschiedliche Begriffe, daraus ergeben sich unterschiedliche Zahlen.

Ja, und genau darum geht's ja gerade! Äpfel mit Birnen vergleichen, das ist eben nicht dasselbe!

Der Mathematiker Bertrand Russell sagte einst (sinngemäß zitiert):

Da traf ich einen Mann auf einer Party, und der sagte zu mir:

Mann: Sie können mir erzählen, was sie wollen, aber ich weiß: 2 + 2 = 4.
Russell: Okay, aber was meinen Sie damit?
Mann: Nun, 2 Hunde + 2 Hunde = 4 Hunde.
Russel: Gut, aber es gibt verschiedene Hunde ...
Mann: Also, 2 Lebewesen + 2 Lebewesen = 4 Lebewesen.
Russell: Ja, aber es kann verschiedene Definition von Leben geben, Tiere, Pflanzen, Pilze ...
Mann: Bitte sehr, 2 Kategorien + 2 Kategorien = 4 Kategorien.
Russell: Aha, nunmehr sind wir bei den Kategorien angelangt, das finde ich spannend. Und außerdem können wir jetzt wieder ganz von vorn anfangen.

Egal, wie man es auch dreht und wendet: Der Zahlbegriff lässt sich von einer weiteren Kategorie, in welcher Form auch immer, nicht isolieren. Zumindest dann nicht, wenn er irgendeinem Realitätsbegriff beschreiben soll.

Die Zahl Pi ist eine transzendentale Zahl, eine Zahl die sich in ihren Stellen nicht wiederholt, unendlich viele Stellen hat und sich durch eine grundlegende Form von Funktionen nicht darstellen lässt. Man hat sie auf viele, viele Millionen Stellen berechnet. Man kann berechnen, auf wie viele Stellen man sie überhaupt berechnen kann. Mittlerweile kann man sogar jenseits dieser Grenze Stellen berechnen, dann aber nur einzelne.
Physikalisch ist die Zahl Pi aber bereits jenseits der etwa 65. Stelle ohne Bedeutung. Denn dann kann man Radien mit der Größe des sichtbaren Universums mit der Genauigkeit der Plankh-Länge berechnen - sofern eine solche Rechnung auch nur irgendeinen Sinn ergäbe.

Aus der Logik solcher Betrachtungen könnte man sagen: Schaffen wir also eine Mathematik, die nur 65 Stellen hat, denn jenseits dessen hört jede physikalische Realität des uns bekannten Universums auf. Und im besten Fall beschreibt die Mathematik ja unser Universum, oder ist gar eine inhärente Eigenschaft desselben.
Ich bezweifle nicht, dass bereits viele andere auf diese profane Idee gekommen sind. Genauso bezweifle ich nicht, dass diese zweifellos mathematisch besser gebildeten Zeitgenossen die Konsequenzen dieses Gedankenganges gesehen haben: Das ganz andere, viel kleinere Gesetzmäßigkeiten nicht stimmen oder nicht aufgehen, wenn man annimmt, dass unser mathematisches Universum jenseits der 65. Stelle endet.

 

[mirek0511]

Wenn aus A B folgt, heißt das nicht,
dass A Ursache von B ist.

nicht "die" ursache, aber eine von vielen.
so kann zb b auch aus c folgen und schon haben wir eine oder-verknüpfung: b = a V c

 

[Aporie]

Nach der binären Logik, der Grundlage der (mathematischen) Aussagenlogik kann es nur zwei Zustände geben, "wahr" und "falsch".

Gut, dann meinen wir dasselbe. Dann würde ich so zusammenfassen:

Binäre Logik ist ein Sonderfall, der vor allem in metalogischen Kalkülen und unter praktischen Gesichtspunkten von Bedeutung ist.

 

[mirek0511]

Binäre Logik ist ein Sonderfall, der vor allem in metalogischen Kalkülen und unter praktischen Gesichtspunkten von Bedeutung ist.

würde ich nicht sonderfall nennen. die ganze digitaltechnik basiert darauf.
zweiwertige logik aka aussagenlogik ist das simpelste und grundlegendste logiksystem. )