Paradise Lost? Cantor, Hilbert, Gödel und die Stufenlogik

[Trestone]

Hallo,


das Hinzunehmen der Stufen zur Logik erscheint oft ungewohnt undwillkürlich.

Vielleicht kann der Vergleich mit den komplexen Zahlen das verständlicher machen.


Mit den reellen Zahlen kam man ja lange Zeit gut zurecht.

Die meisten praktisch benötigten Gleichungen ließen sich lösen

und die Vorstellung von reellen Zahlen als Pfeile mit positiver oder negativer Richtung

auf de Zahlenstrahl war anschaulich und funktionierte,

v.a. bei Addition und Subtraktion.


Nur exotische (multiplikative) Gleichungen wie x*x =- 1 hatten keine Lösung.


Erst als man eine neue Dimension dazu nahm und zu den reellen Zahlen

noch Imaginärteile hinzunahm, die senkrecht auf dem Zahlenstrahl standen,

konnte man nun alle Gleichungen lösen.


Die neuen komplexen Zahlen wurden nun als Pfeile in einem 2-dimensionalen Raum

(der Gaußschen Zahlenebene) veranschaulicht.

Multiplikation erfolgt dort mittels Winkeladdition.


Für den Alltag sind die rationalen und reellen Zahlen weiter ausreichend,

aber mathematisch gesehen sind die komplexen Zahlenviel befriedigender.


Die klassische Logik ist nun analog zu den reellen Zahlen.

Sie funktioniert für den Alltag seit über 2000 Jahren gut

und erscheint uns einleuchtend:

Sätze sind entweder wahr oder falsch.


Auch hier gibt es exotische (meist selbstbezügliche) Sätze, die nicht ins Schema passen:


L:=„Dieser Satz ist nicht wahr“


Wenn L wahr ist, dann ist L gemäß Definition auch falsch,

und wenn L falsch ist, dann ist L gemäß Definition auch wahr.


Die Stufenlogik nimmt nun analog zu den komplexen Zahlen

eine zusätzliche Dimension (die Stufen) hinzu, um eine Lösung zu finden:


Der Wahrheitswert eines Satzes wird nun mit einer Stufe verknüpft,

so dass wir statt bisher „wahr“ oder „falsch“

nun „wahr in Stufe k“ oder „falsch in Stufe k“ als Wahrheitswerte haben.


Anders als bei den komplexen Zahlen nehmen wir aber je Satz

nicht nur einen neuen Wert dazu, sondern eine ganze Folge von Werten in Stufe 0,1,2,3,...


Ein Satz soll für jede der Stufen 0,1,2,3, ... einen definierten Wahrheitswert haben.


Dem „wahr“ oder „falsch“ in der klassischen Logik entspricht in der Stufenlogik

daher ein unendlicher Wahrheitswertvektor.

Das macht die Stufenlogik sehr flexibel, statt „wahr“ oder „falsch“

gibt es unendlich viele mögliche „Wahrheiten“.

Und anders als in der klassischen Logik können Sätze nun auch zugleich wahr und falsch sein,

wenn nur die Stufen unterschiedlich sind.


Die Stufen besitzen eine Hierarchie:

Sie sind für sich selbst und nach oben „blind“, d.h. bei Definitionen von Werten

darf man immer nur auf niedrigere Stufen zurückgreifen.

So werden Widersprüche vermieden.

Selbstbezüglichkeit von Sätzen sind aber ausdrücklich erlaubt -

sie werden über die Stufen„entschärft“.


Die Stufe 0 ist als kleinste Stufe der Stufenlogik ein Sonderfall.

Da es willkürlich wäre, hier den Wert „wahr“ oder „falsch“ für einen Satz anzunehmen

und man sich bei der Definition nicht auf eine niedrigerere Stufe beziehen kann,

wird hier unabhängig vom Inhalt des Satzes der Wert „unbestimmt“ angenommen.


Dadurch wird die Stufenlogik zu einer dreiwertigen Logik (mit wahr, unbestimmt, falsch),

aber die Stufen sind als Neuerung deutlich wichtiger als die Dreiwertigkeit.


Am Lügnersatz L lässt sich ihr Funtionieren schön demonstrieren:

Hierdie Formulierung LS für den Lügnersatz in Stufenlogik:

„Für alle k=0,1,2,3,...: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe k+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe k
und LS ist falsch in Stufe k+1 sonst.“

Stufe 0: Wie alle stufenlogischen Sätze ist LS in Stufe 0 unbestimmt(s.o.), also nicht wahr.

Stufe 1: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 0+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 0

und LS ist falsch in Stufe 0+1 sonst.“

Also ist LS in Stufe 1 wahr.

Stufe 2: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 1+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 1

und LS ist falsch in Stufe 1+1 sonst.“

Also ist LS in Stufe 2 falsch.

Stufe 3: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 2+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 2

und LS ist falsch in Stufe 2+1 sonst.“

Also ist LS in Stufe 3 wahr.

Stufe 4: Dieser Satz LS ist wahr in Stufe 3+1, falls LS nicht wahr ist in Stufe 3

und LS ist falsch in Stufe 3+1 sonst.“

Also ist LS in Stufe 4 falsch.

Der Wahrheitsvektor von LS lautet also (u,w,f,w,f,w,f,w,f, …)

Dies ist aus Sicht der Stufenlogik ein erlaubter Wahrheitsvektor und nicht widersprüchlich,
nur verschiedene Wahrheitswerte innerhalb einer Stufe wären ein Widerspruch.

Durch die neuen Möglichkeiten mittels der Stufen wird die „Lösung“
der Lügneraussage möglich, analog zur Wurzel aus -1 bei den komplexen Zahlen.


Wie die reellen Zahlen sich als Spezialfall der komplexen Zahlen finden(Imaginärteil 0),
lassen sich die klassischen logischen Aussagen in der Stufenlogik wiederfinden:
Es sind die Aussagen mit über die Stufen konstanten Wahrheitswerten,
genauer mit Wahrheitsvektor (u,w,w,w,w,w,w,...) oder (u,f,f,f,f,f,f,f,...).

So wie die komplexen Zahlen alle algebraischen Gleichungen positiven Grades lösbar machen,
kann die Stufenlogik zur Auflösung von Widersprüchen und Antinomien eingesetzt werden.

Sie führt so auch zu einer neuen Mathematik:

Dort sind ja gerade indirekte Beweise für grundlegende Fragen verbreitet (z.B. Cantorsche Diagonalisierung,
Gödelsche Unvollständigkeitssätze, Halteproblem der Informatik).
Da die dort auftretenden Widersprüche / Wahrheitswerte sich jeweils
in unterschiedlichen Stufen befinden, sind diese Beweise mit Stufenlogik nicht mehr gültig.

Den meisten Mathematikern wird dieser Preis für die Stufenlogik zu hoch sein,
dass ich so nebenbei zum Revolutionär geworden bin stört mich aber nicht …


Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

im Philosophie-Raum Thread zur "Grundlagenkrise in der Mathematik (Anfang 20. Jhdt.)"
habe ich das Folgende zur Stufenlogik ausgeführt,
das vielleicht verständlicher machen kann, wozu die Stufen eingeführt wurden:

https://www.*******************/ind...rundlagenkrise-der-Mathematik-Anfang-20-Jhdt/


Hallo,

zur Prägung durch Studium vielleicht mein Beispiel:

Ich habe vor 30 Jahren Mathematik, Informatik und Philosophie studiert.

Im Mathematikstudium habe ich neben den Hauptfächern
ein wenig Mengenlehre und Zahlentheorie mitbekommen,
aber der Name Gödel fiel da nie, auch nicht Grundlagenkrise.

Im Informatikstudium gingen wir auf das Halteproblem und Umfeld ein.

In Philosophie machte ich u.a. einen Logikgrundkurs und ein Seminar zu Gödels Unvollständigkeitssätzen
(war mir z.T. zu anspruchsvoll).

Mein Interesse an einer neuen Logik wurde mehr aus Widerspruchsgeist
zur Hochschul(philosophie) allgemein geweckt ...

ZumThema (Stufenlogik und Konsistenz/Widerspruchsfreiheit):

Man kann meine Stufenlogik auch als ein Projekt zum Umgang mit Selbstreferenz
in Logik und Mengenlehre auffassen:

Hatte Russell noch die Typenhierarchie eingeführt, um Selbstreferenz zu vermeiden,
in der Mengenlehre z. B. die Russelmenge R (die Menge aller Mengen,
die sich nicht selbst als Element enthalten) oder All, die Menge-aller-Mengen.
Beide Mengen sind nicht mehr bildbar, wenn man fordert, das Mengen als Elemente
nur Objekte eines niedrigeren Typs als sie selbst enthalten dürfen.

DieTypenhierarchie vermeidet zwar erfolgreich Selbstreferenz,
schüttet aber gewissermaßen „das Kind mit dem Bade“ aus,
da sie auch nicht pathologische Selbstbezüge verhindert.


In der Stufenlogik habe ich nun die Hierarchieidee aufgegriffen,
um Widerspruchsfreiheit zu erreichen, gleichzeitig aber Selbstbezüglichkeit zugelassen.
Der Trick dabei war, die Hierarchie nicht auf Objekte oder Aussagen anzuwenden,
sondern dafür eine neue (zunächst formal/technische) Dimension einzuführen,
die nur für Wahrheitswerte benutzt wurde, die Stufen der Wahrheitswerte.

Denn bei der Definition von (logischen) Aussagen
benötigt man nur Wahrheitswerte von Aussagen.
Sind diese hierarchisch geordnet, hat man ein widerspruchsfreies System.

Genauer: Den Wahrheitswert einer Aussage A in Stufe k+1 kann man nur mittels Wahrheitswerten von Aussagen
(die auch A sein können) in Stufen kleiner oder gleich k definieren.

Aus Symmetriegründen nehmen wir in der kleinstmöglichen Stufe 0
den Wahrheitswert „unbestimmt (=u)“ für alle Aussagen A an
und setzen die Stufenlogik generell als dreiwertige Logik an.

Beispiel Lügnersatz LS:

„LS ist wahr in Stufe k+1, falls LS in Stufe k nicht wahr ist (und LS ist sonst falsch in Stufe k+1).“

In Stufe 0 gilt: LS ist unbestimmt bzw. W(LS,0)=u (also ist LS in Stufe 0 nicht wahr)
LS ist wahr in Stufe 0+1, falls LS in Stufe 0 nicht wahr ist, also ist LS wahr in Stufe 1.
Also ist LS falsch in Stufe 2, wahr in Stufe3, falsch in Stufe 4, usw.

Man sieht, dass sich LS so widerspruchsfrei definieren lässt und dabei sogar
ein Selbstbezug der Aussage LS zugelassen ist.

Nur auf Ebene der Wahrheitswerte (bei den Stufen) ist kein Selbstbezug erlaubt
und die Stufenhierarchie garantiert so die Widerspruchsfreiheit.
Wie das Beispiel des Lügnersatzes zeigt, werden die klassisch widersprüchlichen Wahrheitswerte in der Stufenlogik nicht beseitigt,
sondern in den Stufen nebeneinander gestellt und (ohne Widerspruch) zugelassen.

Den Preis, den man dafür zu zahlen hat, ist die Vervielfachung der Wahrheitswerte,
denn eine Aussage ist nun nicht mehr wahr oder falsch
sondern hat in jeder der unendlich vielen Stufen 0,1,2,3, … einen Wahrheitswert
(genau: entweder w oder f oder u).
Man kann sich auch vorstellen, dass zu jeder Aussage A ein (unendlicher) Wahrheitsvektor W(A) =(u,W(A,1),W(A,2),W(A,3), …) gehört.

Die gewohnten klassischen Aussagen AK lassen sich als die Aussagen mit konstantem Wahrheitsvektor
W(AK) = (u,w,w,w,w,w, ...) bzw.(u,f,f,f,f,f, ...) wiederfinden.

Daneben bietet die Stufenlogik aber nun viele neue mögliche Aussagen,
daher sind viele klassisch als unmöglich beweisbare Aussagen nun doch oft möglich.
Mir ist z.Zt. kein logisches Paradoxon bekannt, dasssich mittels Stufenlogik
nicht auflösen ließe – sowohl die mit negativer Selbstreferenz (z.B. Lügner)
als auch ohne Negation, z.B. Curry-Paradox, Berry-Paradoxon.

Mittels der Stufenlogik lässt sich auch eine Mengenlehre definieren,
die in einigem wieder näher an der klassischen von Cantor ist – die aber Stufen hat.

Grundidee: Menge M1 ist Element einer Menge M in Stufe k+1,
wenn eine Stufenaussage A über M1 in Stufe k wahr ist,
also wenn M1 eine Eigenschaft A in Stufe k hat.
M1 e(kt1) M ↔ W(A(M1),k)=w

In dieser Stufenmengenlehre sind nicht nur die leere Menge, die Russell-Menge
und die Menge-aller-Mengen „gewöhnliche“ Mengen.

Da der Cantorsche Diagonalbeweis mit Stufenlogik/mengenlehre nicht mehr auf einen Widerspruch führt
(sondern nur auf unterschiedliche Wahrheitswerte in unterschiedlichen Stufen)
gibt es keine „überabzählbaren“ Mengen,
sondern alle unendlichen Mengen sind wie die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar.

Wahrscheinlich funktionierenauch Gödels Unvollständigkeitsbeweise nicht mehr,
denn 1. gelangen indirekte Beweise mit Stufenlogik nicht zu Widersprüchen
sondern nur zu unterschiedlichen Wahrheitswerten in unterschiedlichen Stufen
und 2. könnte die Gödelisierung daran scheitern,
dass mit Stufenlogik die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mehr gesichert ist
(wohl für sehr große Zahlen unterschiedlich je Stufe).

In der Informatik wird das Halteproblem aufgehoben,
da mit "Stufenalgorithmen" keine Selbstanwendung mehr gegeben ist.


Trotz aller Exotik ist daher die Stufenlogik/mengenlehre aus meiner Sicht
eine interessante Antwort auf die Grundlagenkrise und die Suche nach Konsistenz.


Gruß
Trestone

 

[Bernies Sage]

In der Stufenlogik habe ich nun die Hierarchieidee aufgegriffen,
um Widerspruchsfreiheit zu erreichen, gleichzeitig aber Selbstbezüglichkeit zugelassen.
Der Trick dabei war, die Hierarchie nicht auf Objekte oder Aussagen anzuwenden,
sondern dafür eine neue (zunächst formal/technische) Dimension einzuführen,
die nur für Wahrheitswerte benutzt wurde, die Stufen der Wahrheitswerte.

Denn bei der Definition von (logischen) Aussagen
benötigt man nur Wahrheitswerte von Aussagen.
Sind diese hierarchisch geordnet, hat man ein widerspruchsfreies System.

So etwas nenne ich eigentlich "in die eigene Tasche lügen". Unter völlig widerspruchsfreien Systemen verstehe ich genaugenommen fehlerfreie Totsysteme, die immer und überall auf alles Definierbare "teuflisch" anwendbar sind, - ausgenommen "somit" auf göttlich-dynamische Lebendsysteme (weitestgehend urprogrammtechnisch unbeseelt) und metabolische Sprunglogiksysteme (weitestgehend ur-programmtechnisch beseelt).

Letztere es erlauben dürfen vom SOLLEN auf das SEIN zu schließen, aber natürlich niemals umgekehrt, vom SEIN auf das SOLLEN zu schließen, weil dies zu einem infiniten Regress führen würde, der letztlich immer auf "einen geringsten Beobachterfehler" angewiesen sein wird und der mich interessiert. (Meine Thematik)

Tut mir leid, dass ich mich mit der von Dir aufgegriffenen Hierarchieidee - gedankenstufentechnisch - freilich nicht anzufreunden vermag und ich bei meiner kreativen Entwicklungslogik auch keinen Erweiterungsbedarf sehe.

Bernies Sage (Bernhard Layer)

 

[Trestone]

Hallo,


ich habe hier ja schon verschiedentlich angedeutet,

dass meine neue Stufenlogik gut mit (scheinbaren) Widersprüchen umgehen kann

und diese über unterschiedliche Stufen meist sogar auflösen kann.

So ist es nicht verwunderlich, dass dies auch für Körper und Geist gilt,

die sich ja mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften gegenüber stehen.


Baruch Spinoza (1632–1677) hat mit der Ansicht, dass es nur eine Substanz gibt (Gott)

die in den unterschiedlichen Betrachtungsweisen,

nämlich im „Denken“ als Geist und als „Ausdehnung“ als Körper erscheint,

meine Grundidee dazu (bis auf die Stufenlogik) schon vorweggenommen.

Die Stufen der Stufenlogik können ja als Betrachtungsperspektiven gesehen werden,

von denen aus ein Objekt ganz unterschiedliche Eigenschaften haben kann.


So ist das „Objekt“ Lügnersatz LS

(„Diese Aussage LS ist in Stufe k+1 wahr, wenn sie in Stufe k nicht wahr ist, sonst falsch)

in ungeraden Stufen wahr und in geraden Stufen falsch.


Schon seit der Antike gibt es eine Erfahrung, die sich wie folgt ausdrückt:

„Natura non facit saltus“ („Die Natur macht keine Sprünge“).

Dies bezieht sich zwar ursprünglich auf die physikalische/Körper-Welt,

aber auch unsere geistige Welt erfahren wir meist ohne Sprünge.


Dennoch schlage ich zu Körper und Geist ein Modell vor,

das sogar extrem viele Sprünge aufweist,

allerdings sind diese kaum wahrnehmbar.


Die einfache Idee ist, dass sich Körper- und Geist-Eigenschaften

in den Stufen abwechseln,

wie die Wahrheit beim Lügnersatz:


In den ungeraden Stufen 1,3,5,7,... hätten Objekte also Körper-/physikalische Eigenschaften,

in den geraden Stufen 2,4,6,8, … Geist-Eigenschaften.

(oder umgekehrt).


Bei der Wechselwirkung zwischen Körper und Geist müsste daher keine Energie übertragen werden,

denn z.B. könnte in Stufe 2k-1 ein Schmerz-Neuron aktiviert sein

und in Stufe 2k ein Schmerzgefühl auftreten.

(Dasist aber evtl. eine unvollständige Sicht:

Nach Stufenlogik können Inhalte einer Stufe k von Inhalten aller kleineren Stufen abhängen,also nicht nur von der Vorgängerstufe).


Ich hatte mir ja schon überlegt, dass Stufenerhöhungen durch (lokale)Wechselwirkungen (global) ausgelöst werden könnten.

Seit dem Urknall sind das grob geschätzt 10 hoch 120, also sehr viele

und ungemein kurze Stufenwechsel.


Warum nehmen wir das nicht wahr?

- Die Körperstufe hat wohl keineWahrnehmung,
wenn wir wahrnehmen sind wir also stets in einer Geiststufe

- Auch die Geiststufen stehen nicht außerhalb/über den Stufen,
können nur die Geist-Innensicht wahrnehmen.

-Aufeinander folgende Geiststufen sind sich sehr ähnlich,
daher„springt die Natur“ für uns nicht.


Wie erklärt sich menschlicher Geist / Bewusstsein?

Schon Spinoza sah Gott als den allgemeinen Geist,
in dem die menschlichen„Bewusstseine“ als Teile auftraten.


In meinem Modell kann man auch Gott (o.ä.) als universalen Geist annehmen
und menschliche Bewusstseine/Geister parallel zu jedem menschlichen Nervensystem.
Der universale Körper wäre das physikalische Universum.


Wichtig:Keine Folgestufe (Geist oder Körper) ist nur ein Abbild der Vorgängerstufe,
denn die Eigenschaften eines Objekts in einer Stufe
setzen sich aus Eigenschaften des Objekts und Eigenschaften aus der Stufe
(Gruß an Immanuel Kant) zusammen.

Also weder Realismus noch Idealismus


Wir wären also „Bürger einer Welt mit zwei Seiten“,
was ja auch unserer Alltagserfahrung nahe kommt.


Gruß
Trestone

 

[Bernies Sage]

Wir wären also „Bürger einer Welt mit zwei Seiten“,
was ja auch unserer Alltagserfahrung nahe kommt.

Der allgemeine Trend geht aber gerade dahin, von Alltagserfahrungen Abstand zu nehmen und dazu keine Maske zu benötigen, die - situationsbezogen - sich als wahr oder falsch erweist.

Damit wäre niemandem gedient und für mich wäre dies eine ganz schreckliche alternativlose Vorstellung >> also „Bürger einer Welt mit zwei Seiten“ zu sein,
sozusagen wenn "zwei Seelen in einer Brust" wohnen, dann schon lieber zwei Herzen, eine für den Ernst und eine zum Scherzen.....

Neben den zwei Seiten gibt es noch einen überaus bedeutsamen Rand.

Und den halte ich jetzt, damit die Logik gerade in den sich wie von selbst clusterhaft und 'zasterhaft' verdichtenden Grenzbereichen nicht verrückt spielt, egal ob wahr oder falsch...

Bernies Sage (Bernhard Layer)