Trestone
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- 21. November 2020
- Beiträge
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Hallo,
ursprünglich spürte ich nur ein leichtes (intuitives) Unbehagen
mit der klassischen Aussagenlogik (dem “Engel mit dem Flammenschwert” s.u.)
und suchte spielerisch nach einer Lösung für den Lügnersatz “Dieser Satz ist nicht wahr”,
aber dann war ich plötzlich dabei eine neue Logik zu schaffen
und staunte über die Konsequenzen.
Anfangs war mir das gar nicht so klar, dass eine neue Logik auch Auswirkungen
auf Mengenlehre, Arithmetik und Mathematik hat,
und insbesondere Sätze von Cantor und Gödel relativierte.
Mit Blick auf die Mengenlehre und ihre Unendlichkeiten hatte Hilbert gesagt:
„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
(From the paradise, that Cantor created for us, no-one shall be able to expel us.)“
Hilbert (1926, p. 170), a lecture given in Münster to Mathematical Society of Westphalia on 4 June 1925
Dazu fiel mir folgendes Bild aus der Bibel ein:
Gen 3,24:
Er vertrieb den Menschen und stellte östlich des Gartens von Eden die Kerubim auf und das lodernde Flammenschwert, damit sie den Weg zum Baum des Lebens bewachten.
Als “Engel mit dem Flammenschwert” stellte ich mir die Logik vor,
die jeden prüfte, der an ihr vorbei ins Paradies der Wissenschaft wollte.
Sie selbst stand aber ungeprüft am Tor.
Mit meiner neuen Logik hatte ich nun einen alternativen Engel,
der andere Theorien zuließ und das Paradies veränderte.
(“Paradise Lost” muss man wohl (noch?) nicht fürchten,
denn bisher ist meine “Stufenlogik” eine Außenseitertheorie.)
Denn in allen Beweisen wird (meist stillschweigend) eine (klassische) Logik vorausgesetzt
und wie sich zeigte, sind v.a. Widerspruchsbeweise in meiner neuen Logik
nicht mehr gültig, obwohl sie prinzipiell Widerspruchsbeweise zulässt.
Ich zweifele also die klassischen Beweise der genannten Größen gar nicht an,
sondern ändere die “Spielregeln”.
Das liegt an einer neuen Dimension, der “Stufe”, die ich in der Aussagenlogik
eingeführt habe.
Aussagen sind nicht mehr wahr oder falsch, sondern in einer Stufe k= 0,1,2,3, ...
wahr oder falsch.
Und die Wahrheitswerte von Aussagen in Stufe k+1 können nur von Werten
aus kleineren Stufen k, k-1, ...,0 abhängig sein.
Diese Logik nannte ich “Stufenlogik” und machte sie zudem dreiwertig,
mit drittem Wahrheitswert “unbestimmt”.
Es gilt die Startregel: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt (=u).
Zu einer Aussage A gehört der (unendliche) Wahrheitswertvektor
(W(A,0)=u, W(A,1), W(A,2), W(A,3), ...)
So lässt sich eine Lügneraussage L konstruieren:
W(L, k+1) := w wenn ( W(L,k) = f oder W(L,k) =u ) und W(L,k+1=f sonst)
Ws gilt W(L.0)=u, W(L,1)=w (wenn (W(L,0)=u), W(L,2)=f, W(L,3)=w, ...
L hat also einen mit den Stufen k alternierenden Wahrheitswert W(L,k)
was in der Stufenlogik erlaubt ist und nicht widersprüchlich.
Mittels Stufenlogik lässt sich eine enfache Mengenlehre definieren (im Vergleich zu ZFC).
Um z.B. Cantors Diagonalisierung untersuchen zu können,
definierte ich mir diese Stufenmengenlehre wie folgt:
Grundidee: Menge M1 ist Element einer Menge M in Stufe t+1,
Wenn eine Stufenaussage über M1 in Stufe t wahr ist,
also wenn M1 eine Eigenschaft in Stufe t hat.
Das ist bis auf die Stufen der Ansatz der naiven Cantorschen Mengenlehre.
Diese Mengenlehre hat einige hübsche Eigenschaften:
Die All-Menge lässt sich als Menge definieren
(Als Element-Eigenschaft wählen wir z.B. „wahr ist wahr in Stufe t“,
das unabhängig von M1 immer gilt für t>=1).
Die Russell-Menge ist dank der Stufen nicht mehr paradox.
Und der Cantorsche Diagonalbeweis läuft ebenfalls dank der Stufen ins Leere.
Da die All-Menge gleich ihrer Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen) ist
(für jede Stufe t+1),
zeigt die Identität als Bijektion, dass der Satz von Cantor
in der Stufenmengenlehre nicht mehr gilt.
Noch habe ich keinen Widerspruch oder ein Paradoxon
in der Stufenlogik/mengenlehre gefunden,
daher können die Zusätze zur Mengenlehre a la ZFC weggelassen werden,
die (zugegeben etwas sperrigen) Stufen scheinen als Heilmittel schon ausreichend.
Überabzählbare Mengen sind nicht mehr nötig, was Hilbert wohl nicht gefallen hätte.
Aber mich erinnern die Künste mit (nicht erreichbaren) Kardinalzahlen und Ordinalzahlen
an die Ptolomäischen Epizykel …
Es lässt sich mit Stufenmengenlehre eine Arithmetik entwickeln,
aber mit einem Unterschied zur klassischen:
Die Primfaktorenzerlegung ist in verschiedenen Stufen nicht notwendigerweise gleich.
Damit könnten wir evtl. experimentell prüfen, in welcher Art Welt wir leben:
Nimmt man an, dass sich die physikalische Welt in einer Stufe befindet,
die sich bei Wechselwirkung (außer Gravitation) erhöht,
so erhöht sich die Stufe quasi durch Abwarten (das ist aber ziemlich spekulativ).
Wenn wir mit einem Computer die Primzahlzerlegung eine (großen) Zahl zur Zeit t bestimmen
und das zur Zeit t+r wiederholen
(in der wegen inzwischen erfolgter Wechselwirkungen sich auch die Stufe erhöht hat)
und sich beim zweiten Versuch eine andere Primzahlzerlegung ergibt,
wäre unserer Welt wohl wahrscheinlicher stufenlogisch als klassisch logisch.
Wie groß die Zahlen/Computer dazu sein müssten weiß ich leider nicht.
Die andere Konsequenz der unterschiedlichen Primzahlzerlegungen ist,
dass wahrscheinlich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze mit Stufenlogik
nicht mehr gelten (auch die fehlende Überabzählbarkeit deutet in diese Richtung).
Einen vollständigen Beweis dazu habe ich noch nicht.
Wer neugierig auf die Stufenlogik geworden ist,
hier ein paar Links:
Zunächst zwei zu Prof. Ulrich Blaus „Reflexionslogik“, der diese (Teil-)Vorgängerlogik
nur für reflexive Satze zur Stufenlogik schon 20 Jahre früher
(und sehr detailliert) entwickelte:
https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/rds/blau_review.pdf
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-1456-3_20
Zu Stufenlogik mit vielen Details (Vorsicht, z.T. sehr trocken und spekulativ):
https://www.*******************/index.php/Thread/28199-Stufenlogik-Trestone-reloaded-Vortrag-APC/
Man kann auch mit “Trestone” “Stufenlogik” im Netz suchen (Mit “layer logic” in Englisch).
Viel Spass beim Stöbern im “Stufen-Paradies“!
Gruß
Trestone
ursprünglich spürte ich nur ein leichtes (intuitives) Unbehagen
mit der klassischen Aussagenlogik (dem “Engel mit dem Flammenschwert” s.u.)
und suchte spielerisch nach einer Lösung für den Lügnersatz “Dieser Satz ist nicht wahr”,
aber dann war ich plötzlich dabei eine neue Logik zu schaffen
und staunte über die Konsequenzen.
Anfangs war mir das gar nicht so klar, dass eine neue Logik auch Auswirkungen
auf Mengenlehre, Arithmetik und Mathematik hat,
und insbesondere Sätze von Cantor und Gödel relativierte.
Mit Blick auf die Mengenlehre und ihre Unendlichkeiten hatte Hilbert gesagt:
„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
(From the paradise, that Cantor created for us, no-one shall be able to expel us.)“
Hilbert (1926, p. 170), a lecture given in Münster to Mathematical Society of Westphalia on 4 June 1925
Dazu fiel mir folgendes Bild aus der Bibel ein:
Gen 3,24:
Er vertrieb den Menschen und stellte östlich des Gartens von Eden die Kerubim auf und das lodernde Flammenschwert, damit sie den Weg zum Baum des Lebens bewachten.
Als “Engel mit dem Flammenschwert” stellte ich mir die Logik vor,
die jeden prüfte, der an ihr vorbei ins Paradies der Wissenschaft wollte.
Sie selbst stand aber ungeprüft am Tor.
Mit meiner neuen Logik hatte ich nun einen alternativen Engel,
der andere Theorien zuließ und das Paradies veränderte.
(“Paradise Lost” muss man wohl (noch?) nicht fürchten,
denn bisher ist meine “Stufenlogik” eine Außenseitertheorie.)
Denn in allen Beweisen wird (meist stillschweigend) eine (klassische) Logik vorausgesetzt
und wie sich zeigte, sind v.a. Widerspruchsbeweise in meiner neuen Logik
nicht mehr gültig, obwohl sie prinzipiell Widerspruchsbeweise zulässt.
Ich zweifele also die klassischen Beweise der genannten Größen gar nicht an,
sondern ändere die “Spielregeln”.
Das liegt an einer neuen Dimension, der “Stufe”, die ich in der Aussagenlogik
eingeführt habe.
Aussagen sind nicht mehr wahr oder falsch, sondern in einer Stufe k= 0,1,2,3, ...
wahr oder falsch.
Und die Wahrheitswerte von Aussagen in Stufe k+1 können nur von Werten
aus kleineren Stufen k, k-1, ...,0 abhängig sein.
Diese Logik nannte ich “Stufenlogik” und machte sie zudem dreiwertig,
mit drittem Wahrheitswert “unbestimmt”.
Es gilt die Startregel: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt (=u).
Zu einer Aussage A gehört der (unendliche) Wahrheitswertvektor
(W(A,0)=u, W(A,1), W(A,2), W(A,3), ...)
So lässt sich eine Lügneraussage L konstruieren:
W(L, k+1) := w wenn ( W(L,k) = f oder W(L,k) =u ) und W(L,k+1=f sonst)
Ws gilt W(L.0)=u, W(L,1)=w (wenn (W(L,0)=u), W(L,2)=f, W(L,3)=w, ...
L hat also einen mit den Stufen k alternierenden Wahrheitswert W(L,k)
was in der Stufenlogik erlaubt ist und nicht widersprüchlich.
Mittels Stufenlogik lässt sich eine enfache Mengenlehre definieren (im Vergleich zu ZFC).
Um z.B. Cantors Diagonalisierung untersuchen zu können,
definierte ich mir diese Stufenmengenlehre wie folgt:
Grundidee: Menge M1 ist Element einer Menge M in Stufe t+1,
Wenn eine Stufenaussage über M1 in Stufe t wahr ist,
also wenn M1 eine Eigenschaft in Stufe t hat.
Das ist bis auf die Stufen der Ansatz der naiven Cantorschen Mengenlehre.
Diese Mengenlehre hat einige hübsche Eigenschaften:
Die All-Menge lässt sich als Menge definieren
(Als Element-Eigenschaft wählen wir z.B. „wahr ist wahr in Stufe t“,
das unabhängig von M1 immer gilt für t>=1).
Die Russell-Menge ist dank der Stufen nicht mehr paradox.
Und der Cantorsche Diagonalbeweis läuft ebenfalls dank der Stufen ins Leere.
Da die All-Menge gleich ihrer Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen) ist
(für jede Stufe t+1),
zeigt die Identität als Bijektion, dass der Satz von Cantor
in der Stufenmengenlehre nicht mehr gilt.
Noch habe ich keinen Widerspruch oder ein Paradoxon
in der Stufenlogik/mengenlehre gefunden,
daher können die Zusätze zur Mengenlehre a la ZFC weggelassen werden,
die (zugegeben etwas sperrigen) Stufen scheinen als Heilmittel schon ausreichend.
Überabzählbare Mengen sind nicht mehr nötig, was Hilbert wohl nicht gefallen hätte.
Aber mich erinnern die Künste mit (nicht erreichbaren) Kardinalzahlen und Ordinalzahlen
an die Ptolomäischen Epizykel …
Es lässt sich mit Stufenmengenlehre eine Arithmetik entwickeln,
aber mit einem Unterschied zur klassischen:
Die Primfaktorenzerlegung ist in verschiedenen Stufen nicht notwendigerweise gleich.
Damit könnten wir evtl. experimentell prüfen, in welcher Art Welt wir leben:
Nimmt man an, dass sich die physikalische Welt in einer Stufe befindet,
die sich bei Wechselwirkung (außer Gravitation) erhöht,
so erhöht sich die Stufe quasi durch Abwarten (das ist aber ziemlich spekulativ).
Wenn wir mit einem Computer die Primzahlzerlegung eine (großen) Zahl zur Zeit t bestimmen
und das zur Zeit t+r wiederholen
(in der wegen inzwischen erfolgter Wechselwirkungen sich auch die Stufe erhöht hat)
und sich beim zweiten Versuch eine andere Primzahlzerlegung ergibt,
wäre unserer Welt wohl wahrscheinlicher stufenlogisch als klassisch logisch.
Wie groß die Zahlen/Computer dazu sein müssten weiß ich leider nicht.
Die andere Konsequenz der unterschiedlichen Primzahlzerlegungen ist,
dass wahrscheinlich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze mit Stufenlogik
nicht mehr gelten (auch die fehlende Überabzählbarkeit deutet in diese Richtung).
Einen vollständigen Beweis dazu habe ich noch nicht.
Wer neugierig auf die Stufenlogik geworden ist,
hier ein paar Links:
Zunächst zwei zu Prof. Ulrich Blaus „Reflexionslogik“, der diese (Teil-)Vorgängerlogik
nur für reflexive Satze zur Stufenlogik schon 20 Jahre früher
(und sehr detailliert) entwickelte:
https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/rds/blau_review.pdf
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-1456-3_20
Zu Stufenlogik mit vielen Details (Vorsicht, z.T. sehr trocken und spekulativ):
https://www.*******************/index.php/Thread/28199-Stufenlogik-Trestone-reloaded-Vortrag-APC/
Man kann auch mit “Trestone” “Stufenlogik” im Netz suchen (Mit “layer logic” in Englisch).
Viel Spass beim Stöbern im “Stufen-Paradies“!
Gruß
Trestone