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Paradise Lost? Cantor, Hilbert, Gödel und die Stufenlogik

Dieses Thema im Forum "Wissenschaft und Technik" wurde erstellt von Trestone, 23. November 2020.

  1. Trestone

    Trestone New Member

    Registriert seit:
    21. November 2020
    Beiträge:
    26
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    Franken
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    Hallo,

    ursprünglich spürte ich nur ein leichtes (intuitives) Unbehagen
    mit der klassischen Aussagenlogik (dem “Engel mit dem Flammenschwert” s.u.)
    und suchte spielerisch nach einer Lösung für den Lügnersatz “Dieser Satz ist nicht wahr”,
    aber dann war ich plötzlich dabei eine neue Logik zu schaffen
    und staunte über die Konsequenzen.

    Anfangs war mir das gar nicht so klar, dass eine neue Logik auch Auswirkungen
    auf Mengenlehre, Arithmetik und Mathematik hat,
    und insbesondere Sätze von Cantor und Gödel relativierte.

    Mit Blick auf die Mengenlehre und ihre Unendlichkeiten hatte Hilbert gesagt:
    „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
    (From the paradise, that Cantor created for us, no-one shall be able to expel us.)“
    Hilbert (1926, p. 170), a lecture given in Münster to Mathematical Society of Westphalia on 4 June 1925

    Dazu fiel mir folgendes Bild aus der Bibel ein:
    Gen 3,24:
    Er vertrieb den Menschen und stellte östlich des Gartens von Eden die Kerubim auf und das lodernde Flammenschwert, damit sie den Weg zum Baum des Lebens bewachten.

    Als “Engel mit dem Flammenschwert” stellte ich mir die Logik vor,
    die jeden prüfte, der an ihr vorbei ins Paradies der Wissenschaft wollte.
    Sie selbst stand aber ungeprüft am Tor.

    Mit meiner neuen Logik hatte ich nun einen alternativen Engel,
    der andere Theorien zuließ und das Paradies veränderte.

    (“Paradise Lost” muss man wohl (noch?) nicht fürchten,
    denn bisher ist meine “Stufenlogik” eine Außenseitertheorie.)

    Denn in allen Beweisen wird (meist stillschweigend) eine (klassische) Logik vorausgesetzt
    und wie sich zeigte, sind v.a. Widerspruchsbeweise in meiner neuen Logik
    nicht mehr gültig, obwohl sie prinzipiell Widerspruchsbeweise zulässt.

    Ich zweifele also die klassischen Beweise der genannten Größen gar nicht an,
    sondern ändere die “Spielregeln”.

    Das liegt an einer neuen Dimension, der “Stufe”, die ich in der Aussagenlogik
    eingeführt habe.
    Aussagen sind nicht mehr wahr oder falsch, sondern in einer Stufe k= 0,1,2,3, ...
    wahr oder falsch.
    Und die Wahrheitswerte von Aussagen in Stufe k+1 können nur von Werten
    aus kleineren Stufen k, k-1, ...,0 abhängig sein.

    Diese Logik nannte ich “Stufenlogik” und machte sie zudem dreiwertig,
    mit drittem Wahrheitswert “unbestimmt”.
    Es gilt die Startregel: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt (=u).

    Zu einer Aussage A gehört der (unendliche) Wahrheitswertvektor
    (W(A,0)=u, W(A,1), W(A,2), W(A,3), ...)
    So lässt sich eine Lügneraussage L konstruieren:

    W(L, k+1) := w wenn ( W(L,k) = f oder W(L,k) =u ) und W(L,k+1=f sonst)

    Ws gilt W(L.0)=u, W(L,1)=w (wenn (W(L,0)=u), W(L,2)=f, W(L,3)=w, ...
    L hat also einen mit den Stufen k alternierenden Wahrheitswert W(L,k)
    was in der Stufenlogik erlaubt ist und nicht widersprüchlich.

    Mittels Stufenlogik lässt sich eine enfache Mengenlehre definieren (im Vergleich zu ZFC).

    Um z.B. Cantors Diagonalisierung untersuchen zu können,
    definierte ich mir diese Stufenmengenlehre wie folgt:

    Grundidee: Menge M1 ist Element einer Menge M in Stufe t+1,
    Wenn eine Stufenaussage über M1 in Stufe t wahr ist,
    also wenn M1 eine Eigenschaft in Stufe t hat.

    Das ist bis auf die Stufen der Ansatz der naiven Cantorschen Mengenlehre.

    Diese Mengenlehre hat einige hübsche Eigenschaften:

    Die All-Menge lässt sich als Menge definieren

    (Als Element-Eigenschaft wählen wir z.B. „wahr ist wahr in Stufe t“,
    das unabhängig von M1 immer gilt für t>=1).

    Die Russell-Menge ist dank der Stufen nicht mehr paradox.

    Und der Cantorsche Diagonalbeweis läuft ebenfalls dank der Stufen ins Leere.

    Da die All-Menge gleich ihrer Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen) ist
    (für jede Stufe t+1),
    zeigt die Identität als Bijektion, dass der Satz von Cantor
    in der Stufenmengenlehre nicht mehr gilt.

    Noch habe ich keinen Widerspruch oder ein Paradoxon
    in der Stufenlogik/mengenlehre gefunden,
    daher können die Zusätze zur Mengenlehre a la ZFC weggelassen werden,
    die (zugegeben etwas sperrigen) Stufen scheinen als Heilmittel schon ausreichend.

    Überabzählbare Mengen sind nicht mehr nötig, was Hilbert wohl nicht gefallen hätte.
    Aber mich erinnern die Künste mit (nicht erreichbaren) Kardinalzahlen und Ordinalzahlen
    an die Ptolomäischen Epizykel …

    Es lässt sich mit Stufenmengenlehre eine Arithmetik entwickeln,
    aber mit einem Unterschied zur klassischen:

    Die Primfaktorenzerlegung ist in verschiedenen Stufen nicht notwendigerweise gleich.
    Damit könnten wir evtl. experimentell prüfen, in welcher Art Welt wir leben:

    Nimmt man an, dass sich die physikalische Welt in einer Stufe befindet,
    die sich bei Wechselwirkung (außer Gravitation) erhöht,
    so erhöht sich die Stufe quasi durch Abwarten (das ist aber ziemlich spekulativ).

    Wenn wir mit einem Computer die Primzahlzerlegung eine (großen) Zahl zur Zeit t bestimmen
    und das zur Zeit t+r wiederholen
    (in der wegen inzwischen erfolgter Wechselwirkungen sich auch die Stufe erhöht hat)
    und sich beim zweiten Versuch eine andere Primzahlzerlegung ergibt,
    wäre unserer Welt wohl wahrscheinlicher stufenlogisch als klassisch logisch.

    Wie groß die Zahlen/Computer dazu sein müssten weiß ich leider nicht.

    Die andere Konsequenz der unterschiedlichen Primzahlzerlegungen ist,
    dass wahrscheinlich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze mit Stufenlogik
    nicht mehr gelten (auch die fehlende Überabzählbarkeit deutet in diese Richtung).
    Einen vollständigen Beweis dazu habe ich noch nicht.

    Wer neugierig auf die Stufenlogik geworden ist,
    hier ein paar Links:

    Zunächst zwei zu Prof. Ulrich Blaus „Reflexionslogik“, der diese (Teil-)Vorgängerlogik
    nur für reflexive Satze zur Stufenlogik schon 20 Jahre früher
    (und sehr detailliert) entwickelte:

    https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/rds/blau_review.pdf

    https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-1456-3_20

    Zu Stufenlogik mit vielen Details (Vorsicht, z.T. sehr trocken und spekulativ):
    https://www.philosophie-raum.de/index.php/Thread/28199-Stufenlogik-Trestone-reloaded-Vortrag-APC/

    Man kann auch mit “Trestone” “Stufenlogik” im Netz suchen (Mit “layer logic” in Englisch).


    Viel Spass beim Stöbern im “Stufen-Paradies“!


    Gruß
    Trestone
     
  2. ichbinderichwar

    ichbinderichwar Well-Known Member

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    Ob jede Stufe tritt hält,fragt der Weg (doch Ausweg,kennt).
    Wie bei der Tonleiter,irgendwann versagt die Stimme:ironie:
     
  3. Trestone

    Trestone New Member

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    Hallo,

    wer die Stufenlogik nicht auf Anhieb versteht
    und Fragen dazu hat,
    darf sie gern stellen,
    dafür habe ich sie ins Forum gestellt!

    Gruß
    Trestone
     
  4. Trestone

    Trestone New Member

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    Hallo,

    um es selbst auf den Punkt zu bringen:

    Weshalb benötigt man überhaupt eine neue Logik,
    hat sich die klassische nicht im Kern seit Jahrtausenden bewäht?


    Nun, gerade das macht für mich den Reiz aus, etwas Neues zu versuchen
    und ganz makellos ist die klassische Logik nicht.

    Da ist zum Einen das Problem ihrer Begründung.
    Schon Aristoteles machte den Satz vom Widerspruch plausibel,
    “weil man nicht denken könne, dass etwas zugleich sei und nicht sei”.
    Das setzt aber schon eine gewisse (klassische) Logik voraus.

    Die klassisch Logik führt auch zum Begründungstrilemma:
    Etwas hat entweder einen unendlichen Regress als Begründung,
    oder die Begründung ist zirkulär,
    oder die Begründung endet willkürlich/dogmatisch bei einer unbewiesenen Behauptung.

    Als drittes gibt es den Lügnersatz “Dieser Satz ist nicht wahr”,
    der sich in klassischer Logik nicht einfangen lässt (als wahr oder falsch).

    Auf andere Unzulänglich stößt man beim Unendlichen.
    obwohl viele Mathematiker (z.B. David Hilbert) gerade diesen Bereich
    der Logik/Mengenlehre für eine Stärke hielten.

    Mittels der Cantorschen Diagonalisierung und klassischer Logik kann man z.B. zeigen,
    dass es immer wieder neue und größere unendliche Mengen gibt
    (und nie eine Größte).

    Gödel konnte klassisch zeigen:

    “Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System (das z. B. die Arithmetik enthält) ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.“
    Die meisten mathematisch wahren Aussagen lassen sich daher nicht beweisen.

    Wohl weil sich die klassische Logik im Endlichen und im Alltag sehr bewährt hat,
    halten ihr die meisten auch in den Randbereichen die Treue
    und suchen nicht nach einem Paradigmenwechsel.

    Auch ich spielte Anfangs mehr zum Spass mit Widersprüchen und neuen Logikansätzen,
    aber als dann der zur Stufenlogik immer besser funktionierte
    und fast alle oben aufgeführten Punkte neu löste,
    war ich ziemlich überrascht.

    Zum Glück ist sie mit ihrem Zustzparameter Stufe etwas umständlicher
    als die klassische Logik, sonst gäbe es kaum einen Grund,
    bei der klassischen Logik zu bleiben (die Schüler würden mich wohl verfluchen) ...

    Gruß
    Trestone
     
  5. Trestone

    Trestone New Member

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    Hallo,

    zum Bewusstsein muste ich ja bisher noch einiges offen lassen:

    “ Das reicht natürlich noch nicht, um das Problem des Bewusstseins zu lösen.
    Ein Teilproblem ist als „Kombinationsproblem“ bekannt:
    Wie setzt sich unser Bewusstsein und Ich-Empfinden aus den (an den Atomen/Quanten orientierten)
    Teil- oder Protophysischen zusammen?

    Dahinter steckt auch die Frage, wie wird aus Teilen ein menschlicher Körper (oder ein Nervensystem)?

    Denn einem solchen möchte ich ja ein „Ich“ bzw. ein „Bewusstsein“ zuordnen,
    und nicht eine riesige Ansammlung von „Quantenbewusstseinen“.

    Positiv ist in der Stufenlogik schon einmal, dass für diese Ich-Ebene
    keine neue Stufe benötigt wird,
    alle Geistformen können in Stufe Unendlich „untergebracht“ werden.

    Und gemäß der Maxime „von nichts kommt nichts“ kann in der Stufenlogik
    Physisches nur von Physischem (also von endlicher Stufe) stammen,
    und Geistiges nur von Geistigem (also aus Stufe Unendlich).

    Das Ich-Bewusstsein war also entweder schon immer da oder entsteht aus „Geistteilen“.

    Aber die Frage bleibt, wenn sich ein Körper bzw. Nervensystem aufbaut,
    woher dann ein „Ich-Geist“ bzw. „Ich-Bewusstsein“ herkommt

    Hier erscheint mir eine raum-zeitliche Koppelung an den Körper
    plausibler als z.B. eine Seelenwanderung,
    aber im Kern habe ich keine Lösung für diese Frage.“


    Heute hatte ich dazu eine Idee:

    So wie die Wasserstoffteilchen zusammengeballt (via Fusion) das Licht einer Sonne zünden können,
    könnte Bewusstsein sich aus konzentrierten Nervensystemen ergeben.
    Viele „Quantenbewusstseine“ bzw. Teilchen könnten kombiniert ein Bewusstsein hervorbringen,
    das auch relativ unabhängig von den Einzelteilchen existiert.

    Bei aller Eigendynamik ist es aber doch an die Nervenzellen bzw. den Körper gekoppelt
    und stirbt wohl auch mit diesem.

    Und natürlich gehört das Bewusstsein zur Stufe Unendlich.


    Gruß
    Trestone
     
  6. Bernies Sage

    Bernies Sage Well-Known Member

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    Zwischen Erde und Himmel und doch bodenständig
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    Ich spüre dieses leichte (intuitive) Unbehagen jetzt auch.....und auf der nachgebenden >>Stufe Unendlich<< ganz besonders!
     
  7. denk-mal

    denk-mal Well-Known Member

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    Ich frage mich, ob ein Paradies mit Verboten, falschen Schlangen,
    und einem rachesüchtigen Gott, ein Paradies sein kann? :rolleyes:
     
  8. Bernies Sage

    Bernies Sage Well-Known Member

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    Zwischen Erde und Himmel und doch bodenständig
    Nein, ein Paradies für Logiker scheint aber der *Halber-T-Raum* als hälftiger *Hilbertraum* von (doppelter) Bewusstheit in der FORM eines "angeberischen" *OGIP* in der Ortho-Gen-Ideal-Paradoxität zu sein.
     
    denk-mal gefällt das.
  9. ichbinderichwar

    ichbinderichwar Well-Known Member

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    Freischenlichkeit,wahrscheinlich ausgetreten:ironie:
     
  10. Trestone

    Trestone New Member

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    Franken
    Hallo,

    die Stufenmengenlehre ist eine wichtige (und wie ich finde schöne) Ergänzung
    der Stufenlogik.

    Ich will daher ihre Grundprinzipien noch einmal aufführen
    (damit man nicht so lange suchen muss),
    ohne allerdings eine akademisch komplette Merngenlehre zu entwerfen.
    das überlasse ich gerne anderen.

    Der Grundansatz für die Stufenmengenlehre ist der folgende:

    M1: Mengenelementdefinition:
    (Die Menge) x ist von Stufe s+1 aus gesehen Element der Menge M genau dann
    wenn x von Stufe s aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.

    Bis auf die Stufen also ähnlich der klassischen Mengenlehre.

    Statt „x e M wenn Eigenschaft A(x) gilt“ wird also „x e M (in Stufe s+1)“ mittels
    „x hat Eigenschaft A(x) in Stufe s“ betrachtet.
    So werden die Stufen (der Stufenlogik) in die (Stufen-)Mengenlehre übernommen.

    Eine Menge M in der Stufenmengenlehre ist also etwas anderes (und komplexeres)
    als eine klassische Menge,
    denn sie hat Stufen und kann in jeder Stufe andere Elemente haben.

    Andererseits wird sich zeigen, dass sich mit dieser Art Mengen
    vieles einfacher beschreiben lässt und man z. B. keine Klassen mehr benötigt.

    Für an formaler Logik/Mathematik Interessierte führe ich die Grundregeln
    der Stufenmengenlehre noch einmal auf.
    Andere können zu „Eigenschaften und Beweise:“ weiterblättern
    und das unter „Zu Cantors Diagonalbeweis:“ überspringen.


    M1: Mengenelementdefinition

    (Die Menge) x ist von Stufe t+1 aus gesehen Element der Menge M
    genau dann
    wenn x von Stufe t aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.
    Genauer: Der Wahrheitswert von „x e M“ in Stufe t+1
    ist der Wahrheitswert von A(x) in Stufe t.


    Vt >=0: Vx VM: W(x e M,t+1):= W(A(x),t)

    M2: Mengen zu Aussagen:

    Zu jeder stufenlogischen Aussage A(x) über beliebige Stufenmengen x
    gibt es eine Stufenmenge M,
    die für alle t=0,1,2,3,… die Elementgleichung erfüllt:


    W(x e M, t+1) := W(A(x), t)

    M3a: Direktmengen:

    Zu jeder Eigenschaft A(x) gibt es also eine Menge M.
    Wir bezeichnen Mengen, die eine solche t+1-Darstellung über A(x) und t besitzen als“Direktmengen“.


    M3b: Metamengen:

    Sei F eine logische Funktion (meist Metaaussage)
    (wie z.B. Negation, Identität oder logische Konstante w,-w,u,
    z.B. F o W (xeM1,t) := „W(xeM1,t)=u“ ).


    W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M1, t), 1) definiert eine (Meta-)Menge M

    (wobei auch M1=M erlaubt ist.)

    Man beachte, dass für F keine All-Aussagen oder Existenzaussagen zu allen Stufen zugelassen sind.

    Folge zu Stufe 1 aus M3a/M3b:

    Für alle x und Direktmengen M gilt: W(x e M, 1) = u.

    Von Stufe 1 aus sind alle Direktmengen unbestimmt (denn W(A(x),0)=u gilt ja stets).

    Metamengen können in Stufe 1 auch w oder –w als Wert für Elemententhaltung haben.

    M4: Stufenmengen:

    Die in M1-M3b beschriebenen Mengen (und (zunächst) nur diese)
    bilden die Menge der Stufenmengen.


    M5: Mengengleichheit:
    Stufenmengen M1 und M2 sind gleich, wenn“x e M1“ und „x e M2“
    in allen Stufen für alle Stufenmengen x gleiche Werte hat.


    Für alle d>=0: W(M1=M2, d+1) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) , 1 )

    Insbesondere gilt: W(M=M, d+1)=w für d>=0.

    Mengengleichheit ist eine Metaaussage die in allen Stufen d+1>=1 entweder w oder –w ist.

    M6: Leere Menge 0:

    Für die leere Menge 0 ist jede Menge in jeder Stufe >0 Nichtelement.

    Vt>0: W(x e 0, t) := -w und W(x e 0, 0) := u.

    M7: All-Menge All:

    Für die All-Menge All ist jede Menge in jeder Stufe >0 Element.

    Vt>0: W(x e All, t) := w und W(x e All, 0) := u.

    M8: Unbestimmte Menge U:

    Für die unbestimmte Menge U ist jede Menge in jeder Stufe
    weder Element noch Nichtelement.


    Vt>=0: W(x e U, t) := u (= W(u,t)). (U ist eine Direktmenge)

    M9: Verknüpfungsregeln:

    Sei jeweils W(x e M1, t+1)=W(A1(x), t) und (x e M2, t+1)=W(A2(x), t).

    Dann gilt:

    W(x e M1 v M2 , t+1) := W( A1(x) v A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) v W(x e M2, t+1)

    W(x e M1 und M2 , t+1) := W( A1(x) und A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) und W(x e M2, t+1)

    W(x e All – M, t+1) = W(w und – A(x), t)

    W(x e M1 – M2, t+1) = W(A1(x) und – A2(x), t)

    Natürliche Zahlen und Arithmetik:

    N1: Definition Nachfolgerfunktion M+ zu Stufenmenge M
    (zur Konstruktion natürlicher Zahlen):


    Vt>0: W(x e M+, t+1) := W(x e M, t+1) v W(x=M,1)

    Betrachten wir die 0: W(x e 0,t)= f für t>0. „Null“ ist also ab t=1 leer (stufenunabhängig).

    1=0+ : W(x e 0+, t+1) = W(x e 0, t+1) v W(x=0,1) = W(x=0,1)

    Eins“ enthält also ab t=1 genau das eine Element „Null“

    Allgemein: n+ enthält in Stufe t>0 genau die Elemente n, n-1, …,1,

    Die Addition lässt sich nun auch analog dem klassischen Vorgehen definieren:

    W( x e n + m+, t+1 ) := W( x e (n+m)+, t+1 ) = W( x e (n+m),t) v W(x=(n+m),1)

    Bei der Multiplikation ist ein wenig schwieriger:

    W( x e n*m+, t+1 ) := W( x e n*m + n, t+1) = W(x e (n*m + n-1)+, t+1 ) = W( x e (n*m + n-1), t) v W(x = (n*m + n-1),1)

    Der Beweis zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung klappt wegen Stufenwechseln nicht mehr.

    Eigenschaften und Beweise:

    Ein Beispiel ist die Russellmenge R mit „x ist Element von R in Stufe s+1,
    wenn x nicht Element von sich selbst in Stufe s ist“.
    R e R ist in Stufe 0 unbestimmt, in Stufe 1 wahr, in Stufe 2 falsch, in Stufe 3 wahr, usw.,
    also ist die Russellmenge eine „normale“ Stufenmenge.

    Ähnliches gilt für die oben definierte All-Menge,
    die wir gleich noch näher betrachten werden.

    Insbesondere gelten in der Stufenmengenlehre die Cantorschen Diagonalbeweise nicht
    und es wer den daher auch keine überabzählbaren Mengen benötigt.

    Zu Cantors Diagonalbeweis:

    Klassisch gilt ja der Satz von Cantor, dass keine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge haben kann,
    und dies wird mit einem „Diagonalbeweis“ gezeigt:

    Man nimmt an, es gäbe eine Bijektion f von M auf P(M) und bildet dann die Menge Af,
    die genau aus allen M-Elementen x besteht, die nicht in ihrem Bild f(x) liegen:

    Af:= Menge aller x : x –e f(x) ( und x e M)

    Da Af selbst eine Menge aus M-Elementen ist, also ein Element der Potenzmenge P(M)
    muss es nach Annahme auch ein x0 geben mit f(x0) = Af.

    Dies führt aber auf einen Widerspruch:
    1. Fall: Es gilt x0 e f(x0) , dann liegt x0 nicht in Af, also x0 –e Af = f(x0), ein Widerspruch!
    2. Fall: Es gilt x0 -e f(x0) , dann liegt x0 in Af, also x0 e Af = f(x0), ein Widerspruch!

    Also ist die Existenz der Bijektion f nicht möglich.

    In der Stufenmengenlehre ist das anders:

    1. Beweis:

    Die All-Menge „All“ hatte ich ja wie folgt definiert:

    W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.

    Die ALL-Menge ist also eine zulässige Stufenmenge.

    Für die All-Menge ist die Potenzmenge gerade die All-Menge: P(all) = All.

    Daher kann man als Bijektion f (in jeder Stufe t) die Identität wählen.

    Die All-Menge hat also die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge!

    2. Beweis:

    Wie ist das mit der Diagonalmenge Af in der Stufenmengenlehre?

    Sei eine Stufe t0 gegeben und f eine Bijektion von M auf P(M) in Stufe t0.

    Wir bilden nun analog: (Für Metaausagen wählen wir Stufe 1):

    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1 ) & W( W( x e M, t0)=w , 1)

    Wieder muss es ein x0 geben mit W( x0 e M, t0)=w und f(x0) = Af.

    1. Fall: W(x0 e f(x0), t)= w .
    Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) =
    W ( -w, 1) & w = -w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = -w.
    Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.
    (Mit der gleichen Stufe t+1 auf beiden Seiten wäre die Definition von x e Af
    nach Stufenregeln nicht zulässig)

    2. Fall: W(x0 e f(x0), t)= u . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
    & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
    Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

    3. Fall: W(x0 e f(x0), t)= -w . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
    & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
    Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

    Jetzt betrachten wir noch Af für den Fall, dass M die Allmenge ist und f die Identität:

    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1f) & W( W( x e All, t0)=w , 1)

    W( x e Af, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , 1f) (für t0>0 ist der letzte Term immer w).

    Nun finden wir in Af die Russell-Menge R wieder, wir hatten definiert:

    W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1)

    Strenggenommen ist der 2. Beweis nicht stichhaltig, da eine andere Definition von Af zum Ziel führen könnte,
    aber der direkte Beweis über die All-Menge liegt ja vor –
    und der Zusammenhang mit der Russellmenge veranschaulicht vielleicht die Zusammenhänge in der Stufenmengenlehre ganz gut.

    Mit Stufenlogik und Stufenmengenlehre haben wir also wohl ein (zugegebenermaßen etwas unhandliches) Werkzeug,
    um die Mathematiker aus dem „Cantorschen Paradies“ der Überabzählbarkeiten
    zu vertreiben …


    Spannend ist vielleicht auch, dass die Beweise von Gödel zu den Unvollständigkeitssätzen mit Stufenmengenlehre wohl nicht mehr gültig sind.
    Allerdings konnte ich dies durch die fehlende Überabzählbarkeit,
    die Nichteindeutigkeit von Primfaktorzerlegungen und das generelle Aufheben
    von indirekten Beweisen mittels Stufen nur plausibel machen
    und noch nicht mathematisch streng beweisen.
    Könnte gern jemand eine Arbeit dazu erstellen.

    Gruß
    Trestone
     

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