Die neue Prädikatenlogik P2 - von Joachim Stiller

[Joachim Stiller]

In diesem Aufsatz möchte ich einmal versuchen, meine neue Prädikatenlogik P2 zu entwickeln... Grundlage für diesen Aufsatz soll mein Wikibook "Einführung in die Logik" sein…

Prädikatenlogik

Die "Prädikatenlogik" bzw. "Quantorenlogik" wurde unabhängig voneinander von Frege in seiner berühmten Begriffsschrift und von Peirce entwickelt. Genau genommen handelt es sich um eine ganze Familie von Theorien, die ein Wichtiges Teilgebiet der Logik, aber auch der Mathematik darstellt. Bei der Prädikatenlogik zerlegt man, anders als in der Aussagenlogik, elementare Aussagensätze (Wittgenstein) in Subjekt und Prädikat, für die je ein eigenes Symbol gewählt wird. Das Besondere ist, dass man diese symbolischen Elementaraussagen durch so genannte "Quantoren" ergänzt. Man unterscheidet einen Allquantor ("Alle Menschen sind sterblich") und einen Existenzqunator ("Einige Äpfel sind grün"). Auf diese Weise sind differenziertere logische Aussagen möglich als mit der bloßen Aussagenlogik, und daher stellt die Prädikatenlogik auch eine Erweiterung der Aussagenlogik dar.

 

[Joachim Stiller]

Subjekt und Prädikat

Thomas Zoglauer schreibt in seiner "Einführung in die formale Logik für Philosophen":

"Während man in der Aussagenlogik Aussagen und deren Verknüpfung untersucht, untersucht man in der Prädikatenlogik die innere Struktur von Aussagesätzen. Es zeigt sich nämlich, dass jede elementare Aussage aus einem Subjekt und einem Prädikat besteht."

Beispiele:

Eva (Subjekt) ist (Kopula) hübsch (Prädikat).

Die Erde (Subjekt) ist (Kopula) eine Kugel (Prädikat).

Der Apfel (Subjekt) ist (Kopula) rund (Prädikat).

Das Auto (Subjekt) ist (Kopula) schnell (Prädikat).

Das Wetter (Subjekt) ist (Kopula) schön (Prädikat).


Die allgemeine Form eines Aussagesatzes sieht also "so" aus:

S ist ein P. = P ist eine Eigenschaft von S.

S ist ein P. = P ist ein Merkmal von S.

S ist ein P. = S befindet sich im Zustand P.

"S ist das Subjekt. Es ist ein singulärer Term (Eigenname) und bezeichnet ein individuelles Objekt. (Subjekt als Zugrundeliegendes, als Träger einer Eigenschaft) Das Subjekt ist der Teil des Satzes, über den etwas ausgesagt wird. P ist das Prädikat. Es ist ein allgemeiner Term (Begriff) und bezeichnet eine Eigenschaft."[5]

Subjekt
-----------------------
Ding
Substanz
etwas bezeichnen
referenzielle Funktion
singularer Term

Prädikat
-----------------------
Eigenschaft(en)
Akzidenz
etwas beschreiben
deskriptive Funktion
genereller Term

 

[Joachim Stiller]

Formalisierung

Zur Unterscheidung von Subjekt und Prädikat bezeichnen wir Subjekte künftig mit eine kleinen "x" in Verbindung mit einem großen Buchstaben und Prädikate nur mit großen Buchstaben (A, B, C, ... P, Q, R, usw.).

Beispiel: Als Subjekt sei A(x) Apfel und als Prädikate seien R = rot und G = wohlschmeckend gegeben. Damit können wir folgende Stammformen bilden:

Der Apfel ist rot. = A (x) → R (x)

Lies: Wenn dieses x ein Apfel ist, dann ist er rot.

Der Apfel schmeckt gut. = A (x) → G (x)

Lies: Wenn dieses x ein Apfel ist, dann schmeckt er gut.

Der Rennwagen ist schnell. = R (x) → S (x)

Lies: Wenn dieses x ein Rennwagen ist, ist er schnell.

 

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Quantoren

Ein Quantor oder Quantifikator, die Re-Latinisierung des von Charles Sanders Peirce eingeführten Ausdrucks "quantifier", ist ein Operator der Prädikatenlogik. Neben den Junktoren sind die Quantoren Grundzeichen der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden.

Die beiden gebräuchlichsten Quantoren sind der Existenzquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als "mindestens ein" ausgedrückt) und der Allquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als „alle“ oder "jede/r" ausgedrückt). Andere Arten von Quantoren sind Anzahlquantoren wie "ein", "zwei" oder "kein", die sich auf Existenz- beziehungsweise Allquantor zurückführen lassen, und Quantoren wie "manche", "einige" oder "viele", die auf Grund ihrer Unbestimmtheit in der klassischen Logik nicht verwendet werden.

 

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Die Lesart der Quantoren

Der Allquantor: "alle x":

∀x

Der Existenzquantor: "einige x":

∃x

Der Keinheitsquantor: "kein x":

Kx

 

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Wahrheitsbedingungen

Die Aussage ∃xF(x) ist wahr, wenn es mindestens ein x gibt, das die Eigenschaft F hat. Die Aussage ist also auch dann wahr, wenn alle x F sind und die Grundmenge, über die quantifiziert wird, nicht leer ist. Die Aussage ∀xF(x) ist wahr, wenn alle x F sind, sonst falsch. Die Aussage KxF(x) ist wahr, wenn kein x F ist, sonst falsch.

 

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Typen von Urteilen

Eine Aussage in einem Syllogismus, ein kategorisches Urteil, setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung. Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:
Typ Bezeichnung Formulierungen des Urteils Kurzschreibweise

A allgemein bejahendes Urteil

alle S sind P

P kommt allem S zu

∀xP(x)

E allgemein verneinendes Urteil

kein S ist P

P kommt keinem S zu

KxP(x)

I partikulär bejahendes Urteil

einige S sind P

P kommt einigem S zu

∃xP(x)

O partikulär verneinendes Urteil

einige S sind nicht P

P kommt einigem S nicht zu

∃xP(x)

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten "a f f i r m o" (ich bejahe) und "n e g o" (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Quantität und Qualität Die Eigenschaft einer Aussage, über wie viele Gegenstände sie spricht, wird traditionell die "Quantität" dieser Aussage genannt. In diesem Sinn gibt es im Syllogismus zwei Quantitäten, nämlich (a) partikulär und (b) universell oder allgemein. Die Eigenschaft einer Aussage, einem Subjekt ein Prädikat zu- oder abzusprechen, wird traditionell die "Qualität" dieser Aussage genannt. Spricht eine Aussage einem Subjekt ein Prädikat zu, nennt man sie bejahende Aussage, spricht sie es ihm ab, verneinende Aussage.

 

[Joachim Stiller]

Logisches Quadrat der Urteile



Zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen bestehen verschiedene Beziehungen, und zwar wie folgt:

Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A–O und I–E zu.

Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz.

Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I–O in subkonträrem Gegensatz.

Zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits besteht ein Folgerungszusammenhang (traditionell wird dieser Folgerungszusammenhang im logischen Quadrat Subalternation genannt): Aus A folgt I, d. h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d. h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind.

Diese Zusammenhänge werden oft in einem Schema, das unter dem Namen "Logisches Quadrat" bekannt wurde, zusammengefasst (siehe Abbildung). Die älteste bekannte Niederschrift des logischen Quadrats stammt aus dem zweiten nachchristlichen Jahrhundert und wird Apuleius von Madauros zugeschrieben.

 

[Joachim Stiller]

Die Begründung der neuen Prädikatenlogik

Ich habe die folgenden Sätze:

1. Nicht alle Äpfel sind reif.

Dann kann ich den Satz auch schreiben als:

¬∀x(A(x) → R(x))

Es geht aber auch die gleichwertige Formulierung:

Einige (mindestens einer…) Äpfel sind nicht reif:

∃x(A(x) → ¬R(x))


2. Nicht kein Apfel ist reif.

Dann kann ich den Satz auch schreiben als:

¬Kx(A(x) → R(x))

Es geht aber auch die gleichwertige Formulierung:

Einige (mindestens einer…) Äpfel sind reif:

∃x(A(x) → R(x))


Daraus lassen sich die beiden folgenden prädikatenlogischen Formeln entwickeln:

1. ¬∀x(A(x) → R(x)) → ∃x(A(x) → ¬R(x))

2. ¬Kx(A(x) → R(x)) → ∃x(A(x) → R(x))

Während die erste Formel schon mit der klassischen Prädikatenlogik P1 möglich war, wird nun mit der neuen Prädikatenlogik P2 auch die zweite Formel möglich... Und das verstärkt die Symmetrie und die Schlüssigkeit der kontradiktorischen Beziehung der A- und O-Sätze einerseits und der E- und I-Sätze anderseits... Mit der neuen Prädikatenlogik P2 ist also tatsächlich etwas gewonnen...

Joachim Stiller Münster, 2017

 

[Joachim Stiller]

Hier der vollständige Aufsatz als PDF-Datei zum Runterladen und ausdrucken...

http://joachimstiller.de/download/philosophie_praedikatenlogik.pdf