Wenn Du Georg Cantor zitierst, dann aber auch richtig.
Der erste Diagonalbeweis zeigt zunächst nur, dass die rationalen Zahlen in einer anschaulichen Abbildung, einem zweidimensionalen Schema, so angeordnet werden können, dass sie in einer unendlichen Folge abgezählt werden können. Die rationalen Zahlen sind also, obwohl eine unendliche Menge, abzählbar (unendliche Zeit vorausgesetzt). Im zweiten Diagonalbeweis zeigte er, dass es für die reellen Zahlen (sie umfassen die natürlichen und die irrationalen Zahlen) keine solche Folge gibt, nicht geben kann. Die reellen Zahlen sind also überabzählbar.
Da auch die natürlichen Zahlen abzählbar sind - und man daher jeder natürlichen Zahl eine rationale Zahl zuordnen kann, sind die Mengen der natürlichen und der rationalen Zahlen gleich mächtig.
Die reellen Zahlen (R) aber - da überabzählbar - weisen eine höhere Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen (N) auf.
Den verschiedenen Mächtigkeiten von N und R ordnete Cantor neue (hebräische) Symbole zu, die sog. Kardinalzahlen (K) Aleph(0) für N und Aleph(1) für R. Aus bestimmten Überlegungen heraus vermutete Cantor, dass
Aleph(1) = 2^Aleph(0)
- und das ist die sog. Kontinuumshypothese Georg Cantors. Sie beschreibt die Mächtigkeit des Kontinuums (= die reellen Zahlen), auf das sich platonische Mathematiker beziehen, die den Anspruch haben, die Wirklichkeit zu beschreiben.
Cantor argumentierte des Weiteren, dass es keine weitere, überabzählbare Menge geben kann, die kleiner ist als R. Es kann also keine Menge "zwischen" N und R geben.
Der Satz lässt sich weiter verallgemeinern, es könnte dann also Aleph(2) = 2^Aleph(1), Aleph(3) = 2^Aleph(2) .... geben, oder verallgemeinert:
K = Aleph(0), Aleph(1), Aleph(2), Aleph(3) ...
Georg Cantor konnte die Kontiuumshypothese nicht beweisen und auch nicht widerlegen (er verlor den Verstand dabei).
Georg Gödel bewies 1938, dass sich die Kontiuumshypothese mit unserer Mathematik nicht widerlegen lässt. Paul Cohen bewies 1960, dass die Kontinuumshypothese mit unserer Mathematik nicht beweisen lässt.
Die Kontinuumshypothese - die "unendlichen vielen Unendlichkeiten" - lässt sich also weder beweisen noch widerlegen, sie ist unentscheidbar.
Die ganze Diskussion galt zu Georg Cantors Lebzeiten und noch lange danach als rein akademisch, eine Kopfgeburt. Der Mathematiker Leopold Kronecker, Zeitgenosse Cantors und sein intellektueller Gegner, der gleichwohl selbst grundlegende Beiträge zur Analysis und Zahlentheorie lieferte, soll dazu gesagt haben:
„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“
Nach David Hilbert hat Kronecker die Zahlentheoretiker mit den Lotophagen verglichen, „die, wenn sie einmal von dieser Kost etwas zu sich genommen haben, nie mehr davon lassen können“
Allerdings haben Georg Cantors Arbeiten in den letzten Jahrzehnten auch eine reale Bedeutung gewonnen. Die aus ihnen gewonnenen Aussagen haben nämlich eine konkrete Bedeutung für die Kryptographie - die Ver- und Entschlüsselung von Daten, in digitalen Zeiten ein ganz wichtiges Thema, das damals auch nur eine Randerscheinung war.
